최적화는 크게 정적 최적화(static optimization)와 동적 최적화(dynamic optimization)로 분류할 수 있다. 정적 최적화는 파라미터 최적화(parameter optimization)라고도 하며, 동적 최적화는 최적제어(optimal control) 문제라고 한다.
파라미터 최적화는 정적(static) 파라미터를 변수로 하는 어떤 함수(function)에서 최소값 또는 최대값을 산출하는 파라미터를 구하는 문제다. 반면에 동적 최적화는 '함수를 변수로 하는 함수' (함수의 함수로서 functional이라고 한다)에서 최소값 또는 최대값을 산출하는 함수를 구하는 문제다. 파라미터 최적화에 미분법이 필요하듯이 동적 최적화에는 변분법(calculus of variation)이 필요하다.
미분법이 어떤 함수 값을 최소화하거나 최대화하는 파라미터를 계산하는 방법을 다룬다면, 변분법은 functional의 값을 최소화하거나 최대화하는 함수를 계산하는 방법을 다룬다.
파라미터를
예를 들면 다음은 2-차원 벡터
다음은 구간
파라미터
변화량이 매우 작을 때, 즉 극소(infinitesimal) 크기일 때에는
예를 들어서 식 (1)의 미분은 다음과 같다.
여기서

한편, 미분
Functional
예를 들어서 식 (2)에서 적분 구간
여기서
여기서 중요한 것은 함수

도함수를 이용하면 변분
함수를 극소 크기만큼 변화시켰다는 의미는 무엇일까. 함수의 크기는 어떻게 정할 수 있을까.
정적 파라미터의 크기를 놈(norm)으로 정하듯이, 함수의 '크기'도 함수의 놈(norm)으로 정할 수 있다. 이에 대해서는 다음에 ...
만약 함수에 부과된 제약조건이 없을 경우에는 함수
위 조건을 만족하는 파라미터

마찬가지로 functional
위 조건을 만족하는 함수
변분법은 함수의 최소값 또는 최대값에서 미분이
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