풍력터빈 제어(Wind Turbine Control)의 원리

풍력터빈(wind turbine)이 바람으로부터 추출할 수 있는 파워 \(P\) 는 바람 속도의 세제곱에 비례한다.

 

\[ P=C_P \frac{1}{2} \rho Av^3 \tag{1} \]

 

여기서 파워계수 \(C_P\) 는 요각(yaw angle) \(\gamma\), 피치각 \(\beta\) 그리고 선단 속도비(TSR, tip speed ration) \(\lambda\) 의 함수다.

 

 

요각이 \(\gamma =0\) 일 때 전형적인 3차원 \(C_P\) 곡면은 다음 그림과 같다.

 

 

같은 바람 속도에 대해서 바람으로부터 최대의 파워를 추출하기 위해서는 \(C_P=C_{P_{MAX} }\) 의 상태(그림에서 \(C_P\) 의 최정점)로 터빈을 작동시켜야 하는데 그 때의 피치각과 선단 속도비의 조건은 각각 \(\beta=\beta_{opt}\), \(\lambda=\lambda_{opt}\) 로서 일정한 값이다. 즉, \(C_{P_{MAX}}\) 조건을 유지하려면, 피치각 뿐만 아니라 선단 속도비도 최적의 값으로 고정시켜야 한다는 뜻이다.

 

 

아래 그림은 바람 속도와 풍력터빈의 출력 파워의 관계를 나타내는 파워 커브(power curve)다. 그림에서 \(v_{in}\) 은 풍력터빈이 전력 생산을 개시할 수 있는 최소 바람 속도인 시동 풍속(cut‐in wind speed), \(v_{out}\) 는 풍력터빈이 과도한 바람 속도로 인한 안전상의 이유로 전력 생산을 멈추어야 하는 차단 풍속(cut‐out wind speed)이고, \(v_{rated}\) 는 정격 파워 (rated power) \(P_{rated}\) 를 생산하기 시작하는 정격 풍속(rated wind speed)이다. 그림에 의하면 이 세 가지 바람 속도를 기반으로 풍력터빈의 작동 영역을 크게 4개로 구분함을 알 수 있다.

 

 

Region I은 바람 속도가 \(0\) 에서 \(v_{in}\) 까지의 영역으로 바람 속도가 작아서 풍력터빈이 작동할 수 없는 영역이다. Region IV는 바람 속도가 \(v_{out}\) 이상의 영역으로 Region I과 반대로 바람 속도가 과도하여 풍력터빈을 작동시키지 않는 영역이다. 따라서 실제로 풍력터빈이 전력을 생산하는 영역은 Region II와 Region III이다.

Region II는 바람 속도가 \(v_{in}\) 에서 \(v_{rated}\) 까지의 영역으로, 식 (1)로 주어지는 바람 속도의 세제곱에 비례한 전력을 생산하는 영역이다. Region III는 바람속도가 \(v_{rated}\) 에서 \(v_{out}\) 까지의 영역으로 바람 속도에 관계없이 일정한 전력을 생산하는 영역이다.

풍력터빈에 따라서는 소음과 진동의 이유로 로터의 회전 속도의 크기에 제약을 두는 경우가 있는데 그럴 때는 Region II와 Region III 사이에 천이영역(transition region)인 Region II\(^{\frac{1}{2}}\) 를 두기도 한다.

Region II를 max-\(C_P\) 영역이라고 한다. 이 영역은 바람 에너지를 최대로 추출하도록 풍력터빈을 작동시키는 영역이기 때문이다. 앞서 설명했듯이 풍력터빈이 max-\(C_P\) 로 작동하려면 요각이 \(0\) 도인 상태에서 피치각과 선단 속도비(TSR)가 각각 \(\beta =\beta_{opt}\) 와 \(\lambda = \lambda_{opt}\) 의 조건을 유지해야 한다. 선단 속도비를 일정하게 유지하려면 풍력터빈의 로터 회전 속도 \(\omega_R\) 를 다음 식과 같이 바람 속도 \(v\) 에 따라 선형적으로 변화시켜야 한다.

 

\[ \omega_R= \frac{\lambda_{opt}}{R} v \tag{2} \]

 

Region III는 바람 속도에 관계없이 정격 전력을 생산하는 영역인데 왜 바람이 갖고 있는 에너지를 최대로 회수하려 하지 않고 일정한 크기의 전력 생산으로 제한하는 지 의문이 있을 수 있다. 만약, 정격 이상의 고속 바람에 대하여 출력을 제한시키지 않고 식 (1)로 주어지는 방식으로 전력을 생산하려고 하면, 풍력터빈의 각 구성 요소들을 고속 바람에도 견딜 만큼 구조적으로 설계되어야 할 뿐만 아니라 발전기(generator)의 한계 용량도 정격 용량보다 크게 설계되어야 한다. 이는 풍력터빈의 제작 단가를 크게 높이는 결과를 초래하므로 Region III의 전력 생산 제한은 경제적인 면을 고려한 결정이라고 생각하면 된다.

 

 

한편, 바람에 의한 터빈의 공력 토크(aerodynamic torque) \(T_a\) 는 다음 식으로 주어진다.

 

\[ \begin{align} T_a &= \frac{P}{\omega_R} = C_P \frac{1}{2 \omega_R } \rho Av^3 \tag{3} \\ \\ &= \frac{1}{2} C_P (\beta, \lambda) \rho \pi R^2 \frac{v^3}{\omega_R} \end{align} \]

 

공력 토크는 풍력터빈의 회전 운동을 일으키는 동력이다. 식 (2)에 의하면 선단 속도비(TSR)는 바람 속도와 로터의 회전 속도의 함수이므로 공력 토크는 바람속도 \(v\), 로터 회전 속도 \(\omega_R\), 피치각 \(\beta\) 의 함수이다. 다음 그림은 \(\beta =\beta_{opt}\) 일 때 공력 토크와 바람 속도, 로터 회전 속도의 관계도다. 수평축은 로터의 회전 속도이고, 수직축은 공력 토크이다. 그림에서 곡선들은 일정한 바람 속도에 대하여 로터의 회전 속도에 따라 변하는 공력 토크를 나타낸다.

 

그림에 의하면 바람 속도가 클수록, \(v_6 \gt v_5 \gt \cdots \gt v_0\), 공력 토크는 증가함을 알 수 있다. 하지만 이보다 더 중요한 사실은 같은 바람 속도에서도 로터의 회전 속도에 따라 공력 토크의 크기가 달라진다는 것이다.

max-\(C_P\) 로 작동하는 Region II에서는 \(C_P=C_{P_{MAX}}\) 이고 \(\beta = \beta_{opt}\) 이므로, 식 (2)와 (3)에 의하면 max-\(C_P\) 로 작동하는 풍력터빈의 공력 토크는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} T_a &= C_{P_{MAX}} \frac{\rho \pi R^2}{ 2 \omega_R} \left( \frac{\omega_R R}{\lambda_{opt}} \right)^3 \tag{4} \\ \\ &= \frac{C_{P_{MAX}} \rho \pi R^5}{ 2 \lambda_{opt}^3} \omega_R^2 \\ \\ &= k_{opt} \omega_R^2 \end{align} \]

 

여기서 \(k_{opt}\)는 상수이다. 식 (4)에 의하면 max-\(C_P\) 로 작동하는 풍력터빈의 공력 토크는 로터 회전 속도\(\omega_R\) 의 제곱에 비례한다.

다음 그림은 로터 회전 속도-토크 특성 선도에 max-\(C_P\) 로 작동하는 풍력터빈의 공력 토크를 검정색 실선으로 그려 넣은 것이다.

 

그림에서 max-\(C_P\) 커브는 max-\(C_P\) 로 작동하는 공력 토크 선도이고, 굵은 점선은 정격 파워를 위한 로터 공력 토크 선도다. 빨강색 점은 정격 파워 선도와 max-\(C_P\) 커브가 만나는 점으로서 로터 회전 속도 \(\omega_R \le \omega_m\) 의 영역이 Region II이다.

Region II의 제어 목적이 피치각과 선단 속도비를 일정한 최적값으로 유지시키는 것이라면, Region III에서는 정격 풍속 이상에서 풍력터빈의 출력을 정격으로 제한시키는 것이 제어 목적이다. 정격 풍속 이상에서 풍력터빈의 출력을 정격 파워 \(P_{rated}\) 로 일정하게 유지시키려면, 다음의 관계식이 성립하여야 한다.

 

\[ P_{rated} = const = C_P \frac{1}{2} \rho Av^3 \tag{5} \]

 

따라서 정격 풍속이상에서는 파워계수 \(C_P\) 를 \( \frac{1}{v^3}\) 에 비례하도록 조절할 필요가 있다. 다음 그림은 정격 바람 속도를 기준으로 한 Region II와 Region III에서의 파워, 로터 회전 속도, 공력 토크를 바람 속도의 함수로 나타낸 것이다.

 

 

그렇다면 어떤 제어 수단과 방법을 통해서 풍력터빈의 제어 목적을 달성할 수 있을까.