바람 에너지와 파워계수

풍력터빈이 바람 에너지로부터 추출하는 파워와 바람이 풍력터빈에 가하는 추력을 원판 모델(actuator disk model)을 기반으로 하여 유도하면 다음과 같다.

 

 

 

\[ \begin{align} & P = C_P \frac{1}{2} \rho A v^3 \tag{1} \\ \\ & F_T = C_T \frac{1}{2} \rho A v^2 \end{align} \]

 

여기서 \(v\) 는 풍력터빈으로 불어오는 바람의 속도, \(A\) 는 풍력터빈의 단면적(여기서는 디스크의 면적)이다. 파워계수(power coefficient) \(C_P\) 와 추력계수(thrust coefficient) \(C_T\) 는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} & C_P (a_{ax})=4 a_{ax} (1-a_{ax} )^2 \tag{2} \\ \\ & C_T (a_{ax})=4 a_{ax} (1-a_{ax} ) \end{align} \]

 

여기서 \(a_{ax}\) 는 축방향 유도계수(axial induction factor)로서 풍력터빈으로 불어오는 바람의 속도에 비해서 터빈의 위치에서 바람의 속도가 감소한 비율을 뜻한다.

 

\[ a_{ax}= \frac{v-v_T}{v} = - \frac{\Delta v}{v} \tag{3} \]

 

풍력터빈에서 충분히 멀리 떨어진 상류에서의 바람의 속도 \(v\) 는 터빈의 영향을 받지 않지만, 바람이 터빈 쪽으로 다가오면 터빈의 영향으로 그 속도가 \(v_T\) 로 감소한다. 식 (3)에 의하면 풍력터빈 위치에서의 바람속도는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ v_T=v-a_{ax} v \tag{4} \]

 

여기서 \(-a_{ax} v\) 를 유도속도(induced velocity)라고 하는데 이 속도는 풍력터빈 때문에 발생한 속도라고 생각하면 된다. 풍력터빈으로부터 하류 쪽으로 멀리 떨어진 곳(far wake)에서의 유도속도는 \(-2a_{ax} v\) 이며 이 때의 속도인 후류속도(wake velocity)는 \(v_W=v-2a_{ax} v\) 가 된다.

 

 

후류속도 식에 의하면 \(a_{ax} \ge \frac{1}{2}\) 에서 후류의 속도가 \(0\) 이 되거나 음의 값이 되는 것을 알 수 있다. 이러한 현상은 비현실적인 것으로서 원판 모델의 한계라고 볼 수 있다. 원판 모델 기반 하에 유도된 식들은 원판의 회전을 고려하지 않고 공기 입자들이 원판을 직선으로 통과하여 흐른다는 가정 하에 얻어진 식들이다. 그러나 풍력터빈은 회전날개를 모형화한 회전 원판의 개념으로 이해되어야 한다.

축방향 유도계수의 정의에 의하면 \(a_{ax}\) 가 커진다는 것은 원판(풍력터빈의 회전날개)의 존재에 의하여 원판을 통과하여 흐르는 공기 입자의 속도가 작아진다는 것을 뜻한다. 이제 원판이 회전한다고 생각해 보자. 회전 원판을 통과하는 공기 입자들이 원판을 회전하게 만드는 회전 토크를 생성한다면, 작용-반작용의 원리에 의하여 회전 원판은 공기 입자들에 동일한 크기의 반대 방향 회전 토크를 전달하게 된다. 따라서, 회전 원판을 통과하는 공기 입자의 흐름은 직선 운동 외에 원판의 회전과 반대 방향으로 회전하는 속도 성분을 갖게 된다. 만약 터빈의 회전날개의 회전속도가 매우 빠르면, 터빈을 향해 오는 공기 입자들은 원판을 통과하지 못하고 원판을 우회하여 흐르게 될 것이다. 실험에 의하면 공기 입자가 원판을 통과하여 흐른다는 가정 하에 유도된 결과는 \(a_{ax}\) 값이 \(0.4\) 보다 큰 공기 흐름 상태에서는 성립하지 않는다. 즉 파워계수와 추력계수 실험값이 계산값에서 크게 벗어나는 결과를 보여준다. 따라서 \(a_{ax}\) 값이 \(0.4\) 보다 크면 식 (2) 대신에 경험 관계식을 사용해야 한다.

 

 

그렇다면 축방향 유도계수는 풍력터빈 운전 조건에 따라 어떻게 변화될까? 축방향 유도계수는 터빈의 블레이드 피치각(pitch angle) \(\beta\) 와 선단 속도비(TSR, tip speed ratio) \(\lambda\) 에 따라 그 값이 달라진다. 따라서 파워계수와 추력계수는 다음과 같은 함수 관계로 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & C_P (a_{ax})=C_P (\beta, \lambda) \tag{5} \\ \\ & C_T (a_{ax})=C_T (\beta, \lambda) \end{align} \]

 

선단 속도비는 다음과 같이 정의된다.

 

\[ \lambda = \frac{\omega R}{v} \tag{6} \]

 

여기서 \( \omega\) 는 날개의 각속도이고 \(R\) 은 회전날개의 반지름이다.

 

 

축방향 유도계수가 피치각과 선단 속도비의 함수라는 것을 자세히 설명하려면 공기역학에 대한 지식이 필요하지만 이유를 물리적으로 간략하게 설명해 볼 수는 있다.

우선 풍력터빈이 바람으로부터 에너지를 빼앗으려면 바람의 흐름을 방해하여 바람 속도를 감소시켜야 한다. 축방향 유도계수는 바람의 속도가 감소한 비율로 정의되고 파워계수는 유도계수의 함수로 수식이 도출됐으므로 이러한 물리적 현상이 설명된다. 그런데 여기서 바람의 흐름을 방해하는 수단으로 풍력터빈의 블레이드 피치각과 바람 속도에 대한 블레이드의 상대적인 회전 속도를 들 수 있다. 블레이드 피치각의 크기에 따라서 또는 바람의 속도와 블레이드의 회전 속도의 상관 관계에 따라서 바람 흐름이 달라지기 때문이다. 이러한 이유로 축방향 유도계수는 블레이드 피치각과 선단 속도비의 함수가 됨을 짐작할 수 있다.

아래 그림은 MW 규모 풍력터빈의 개략적인 \(C_p - \lambda\) 선도이다. 수평축은 선단 속도비 \(\lambda\) 이며, 수직축은 파워계수 \(C_p\) 이다. 그리고 \(\beta_{-1} \lt \beta_0 \lt \beta_1 \lt \beta_2 \lt ... \) 이다.

 

 

그림에 의하면 피치각의 크기가 커지면 \(C_P\) 값이 급격히 작아지는 것을 볼 수 있다. 또한 피치각이 \(\beta_0\) 이고 선단 속도비가 \(\lambda_0\) 인 조건에서 풍력터빈은 최대 에너지 회수 조건인 \(C_P=C_{P_{MAX}} \) 의 상태로 운전된다는 것을 알 수 있다. \(C_{P_{MAX}} \) 조건을 유지하려면, 선단 속도비 \(\lambda\) 도 그 값을 일정한 값으로 유지되어야 하는데, 이것은 바람속도와 로터의 회전 각속도가 서로 비례 관계에 있도록 풍력터빈을 운전시켜야 한다는 것을 의미한다. 즉, 바람 속도가 빨라지면 로터의 각속도도 비례적으로 증가시켜야 하며, 바람 속도가 작아지면 각속도도 감소되도록 풍력터빈을 운전시켜야 선단 속도비를 일정한 값으로 유지할 수 있다.