Yaw각이 파워계수에 미치는 영향

풍력터빈으로 유입되는 바람의 방향은 계속 변하기 때문에 일반적으로 풍력터빈의 로터축은 항상 바람 방향과 평행하지 않다. 그렇다고 로터축을 바람 방향의 변동성을 따라가도록 빠르게 정렬시킬 수는 없는 노릇이기 때문에 풍력터빈은 대부분 바람 방향과 로터 회전축이 편향된 상태로 작동한다고 할 수 있다. 또한 풍력단지(wind farm)안에 있는 풍력터빈의 경우에는 바람 방향과 로터축을 의도적으로 편향시켜 풍력단지의 제어 목적을 달성하기도 한다.

 

 

로터의 회전축과 바람 방향사이의 편향각을 요각(yaw angle) \(\gamma\) 라고 한다.

 

 

요각은 풍력터빈의 전력 생산에 영향을 미칠 수 있다. 왜냐하면 요각은 로터에 작용하는 바람 속도의 수직 성분을 감소시켜 로터에 가해지는 추력과 로터에 의해 추출되는 에너지의 양을 바꿀 수 있기 때문이다.

바람 방향과 편향된 풍력터빈은 바람이 일정한 속도로 불어오더라도 터빈의 블레이드가 회전함에 따라 각 블레이드의 받음각(angle of attack)이 지속적으로 변화하기 때문에 블레이드에 가해지는 하중이 변동하여 피로 손상을 유발한다. 그리고 받음각의 변화는 추력뿐만 아니라 터빈의 수직축과 가로축에 대한 모멘트를 유발한다. 또한 로터가 바람 방향과 편향되어 회전한다면 유도속도(induced velocity)가 방위각 및 로터 반경 방향으로 모두 변하므로 유도속도를 계산하기가 더욱 복잡해진다.

바람 방향과 편향되어 작동하는 풍력터빈에 원판 디스크 모델에 기반한 힘과 운동량(momentum)의 변화 관계식을 적용하는 것은 문제가 있다. 왜냐하면 운동량 이론으로는 전체 로터 디스크에 대한 평균 유도속도를 계산할 수 있는 것이지 요각이 있는 경우에 발생하는 블레이드 회전에 따라서 변화하는 유도속도를 계산하는 데에는 적절하지 않기 때문이다.

하지만 만약 로터 디스크에 수직(회전축에 평행)으로 가해지는 힘(추력)이 바람의 운동량 변화율에 전적으로 영향을 미친다고 가정하면 평균 유도속도 방향도 축방향(axial direction)이 되어야 하므로 축방향 유도속도와 파워계수, 추력계수 등을 계산해 낼 수 있다. 그리고 이때 풍력터빈을 통과한 후류(wake)는 바람 방향에 대한 유도속도의 직각 성분 때문에 한쪽으로 휘어지게 될 것으로 예상할 수 있다.

 

 

위 그림과 같이 로터의 회전축이 바람 방향에 대해서 요각 \(\gamma\) 만큼 편향되어 있고 축방향의 바람 운동량 변화율이 추력과 같다고 가정하면, 다음 식이 성립한다.

 

\[ \begin{align} F_T &= \frac{dm}{dt} (v \cos \gamma - v_W ) \tag{1} \\ \\ &= \rho Av_T (v \cos\gamma-v_W ) \end{align} \]

 

여기서 \(v\) 는 터빈으로 불어오는 바람의 속도, \(v_W\) 는 후류의 축방향 바람속도, \(v_T\) 는 풍력터빈 위치에서의 축방향의 바람속도이다.

 

 

\(v_W\) 와 \(v_T\) 는 각각 다음과 같이 주어진다(게시글 '바람 에너지' 의 식 (9) 참고).

 

\[ \begin{align} & v_W= v \cos \gamma-2a_{ax} v \tag{2} \\ \\ & v_T = v \cos⁡\gamma - a_{ax} v \end{align} \]

 

여기서 \(a_{ax}\) 는 축방향 유도계수(axial induction factor)로서 풍력터빈으로 불어오는 바람의 속도에 비해서 터빈의 위치에서 터빈의 회전축 방향의 바람의 속도가 감소한 비율로 정의한다.

 

\[ a_{ax}= \frac{v \cos\gamma -v_T}{v} \tag{3} \]

 

식 (2)를 (1)에 대입하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} F_T &= \rho A (v \cos\gamma -a_{ax} v) \left(v \cos⁡\gamma-(v \cos⁡\gamma-2a_{ax} v) \right) \tag{4} \\ \\ &= \rho Av (\cos\gamma -a_{ax} )2a_{ax} v \\ \\ &= 2 \rho Av^2 (\cos⁡\gamma-a_{ax} ) a_{ax} \end{align} \]

 

한편 파워는 식 (4)와 (2)를 이용하여 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} P &= F_T v_T \tag{5} \\ \\ &= 2 \rho Av^3 (\cos\gamma-a_{ax})^2 a_{ax} \end{align} \]

 

파워계수 \(C_P\) 와 추력계수 \(C_T\) 의 정의에 의하면 두 계수를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & C_P=\frac{P}{P_{ref}} = \frac{2 \rho Av^3 (\cos\gamma-a_{ax} )^2 a_{ax}}{ \frac{1}{2} \rho Av^3 }= 4a_{ax} (\cos\gamma-a_{ax} )^2 \tag{6} \\ \\ & C_T= \frac{F_T}{P_{ref}/v} =\frac{2 \rho Av^2 (\cos\gamma-a_{ax} ) a_{ax}}{ \frac{1}{2} \rho Av^2 } =4a_{ax} (\cos\gamma-a_{ax} ) \end{align} \]

 

식 (6)에 의하면 파워계수와 추력계수는 축방향 유도계수와 요각의 함수이며 파워와 추력은 다음과 같이 풍력터빈으로 불어오는 바람속도를 기준으로 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & P= C_P (a_{ax}, \gamma) \frac{1}{2} \rho Av^3 \tag{7} \\ \\ & F_T = C_T (a_{ax}, \gamma) \frac{1}{2} \rho Av^2 \end{align} \]

 

한편, 식 (6)에 의하면 바람 방향에 대해서 로터 회전축이 요각 \(\gamma\) 만큼 편향되어 있을 경우 파워계수의 최대값은 \(a_{ax}= \frac{\cos\gamma}{3}\) 일 때 \( C_{P_{MAX}} = \frac{16}{27} \cos^3 \gamma\) 가 된다.

아래 그림은 요각이 커질수록 파워계수 값이 감소함을 보여준다.