바람 에너지

바람(wind)이 갖는 운동 에너지는 얼마일까. 그리고 그 중 얼마나 전기 에너지로 변환시킬 수 있을까.

 

 

바람 에너지를 전기 에너지로 변환해 주는 장치가 풍력터빈(Wind Turbine)이다. (어린 시절 바람개비를 갖고 놀던 사람으로서 Wind Turbine을 바람터빈이라고 번역하면 어떨까 싶다.)

 

 

풍력터빈은 단독으로 운영되기도 하지만 보통 수 십개에서 수 백개를 한꺼번에 운용하는 것이 보통이다. 풍력터빈을 모아 놓은 단지를 Wind Farm이라고 하는데 번역은 풍력단지라고 한다. (TV동물농장의 애청자로서 이 역시 바람농장이라고 번역하면 어떨까 싶다.)

 

 

속도가 $v_1$이고 질량이 $m$인 공기 덩어리가 갖는 운동 에너지는 $E_{wind}=\frac{1}{2}m{v}_1^2$이다. 파워(power)는 단위 시간당 에너지로 정의되므로 바람의 파워는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& P_{wind}=\frac{d{E}_{wind}}{dt}=\frac{1}{2}\frac{dm}{dt}{v}_1^2\end{array}$$

 

여기서 바람 속도는 일정하다고 가정한다. 바람이 풍력터빈에 전달해 줄 수 있는 파워를 계산하기 위해서 다음 그림과 같이 풍력터빈을 공기가 자유롭게 투과할 수 있는 이상적인 얇은 원판으로 가정하고(actuator disk model이라고 한다) 풍력터빈 전후의 공기 흐름의 궤적을 그려보자. 이 흐름선을 유선(stream line)이라고 한다.

풍력터빈의 영향을 받지 않을 만큼 충분히 멀리 떨어진 거리에 있는 풍력터빈 앞단에서의 유선 다발 단면적을 $A_1$이라고 하고 그 위치에서의 공기 속도를 $v_1$이라고 하자. 그리고 풍력터빈의 단면적을 $A_T$, 풍력터빈 위치에서의 공기 속도를 $v_T$라고 하고, 마지막으로 풍력터빈 뒷단에서의 유선다발 단면적을 $A_2$, 그 위치에서의 공기 속도를 $v_2$라고 하자.

 

 

공기가 비압축성이라고 가정하면 질량 보존의 법칙에 의해서 단위 시간동안 각 단면을 통과하는 공기의 질량 $\frac{dm}{dt}$은 모든 단면에서 같다. 즉,

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \frac{dm}{dt}=\rho A_1{v}_1=\rho A_T{v}_T=\rho A_2{v}_2\end{array}$$

 

여기서 $\rho$는 공기의 밀도이고 단면에서 바람의 속도는 같다고 가정한다. 식 (2)를 (1)에 대입하면 바람의 파워를 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& P_{wind}=\frac{1}{2}\rho A_1{v}_1^3\end{array}$$

 

바람의 파워는 공기의 밀도와 바람 속도의 세제곱에 비례한다는 것을 알 수 있다. 풍력터빈이 바람으로부터 추출하는 파워는 단면 $A_1$에서 계산되는 파워와 단면 $A_2$에서 계산되는 파워의 차이에 해당한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& P_a& =\frac{1}{2}\frac{dm}{dt}(v_1^2-v_2^2)\\ & =\frac{1}{2}\rho A_1{v}_1^3-\frac{1}{2}\rho A_2{v}_2^3\end{array}$$

 

한편 바람이 풍력터빈을 통과하면서 파워를 잃기 때문에 속도가 감소하는데, 바람의 속도가 감소한다는 것은 풍력터빈이 공기에 힘 $F_{ax}$를 가하여 공기의 흐름을 방해한 결과로도 볼 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& F_{ax}& =\frac{dm}{dt}(v_1-v_2)\\ & =\rho A_1{v}_1^2-\rho A_2{v}_2^2\end{array}$$

 

 

작용 반작용의 법칙에 의하면 동일한 크기의 반대방향의 힘을 공기가 풍력터빈에 가하게 되는데 이 힘 $F_T$를 추력(thrust force)라고 한다. 추력은 바람의 방향과 같다.

 

 

한편 풍력터빈을 통과하는 바람의 속도는 $v_T$이므로 바람이 풍력터빈에 전달하는 파워는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& P_{mech}& =F_T{v}_T\\ & =\frac{dm}{dt}(v_1-v_2)v_T\end{array}$$

 

식 (4)와 (6)에서 계산한 파워는 동일한 것이므로, 바람이 풍력터빈을 통과할 때의 속도는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& v_T=\frac{(v_1+v_2)}{2}\end{array}$$

 

위 식에 의하면 바람의 속도가 풍력터빈의 영향 때문에의 처음 속도 $v_1$에서 풍력터빈의 위치에서는 $v_T$로 속도가 감소한 것인데 처음 속도 대비 감소한 속도의 비율을 축방향 유도계수(axial induction factor)라고 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& a_{ax}=\frac{v_1-v_T}{v_1}\end{array}$$

 

축방향 유도계수를 이용하면 속도 $v_T$와 $v_2$를 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& & v_T=v_1-a_{ax}{v}_1\\ & v_2=v_1-2a_{ax}{v}_1\end{array}$$

 

식 (9)를 식 (6)에 대입하면 풍력터빈이 추출하는 파워를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& P_{mech}=2\rho A_T{v}_1^3{a}_{ax}(1-a_{ax}{)}^2\end{array}$$

 

또한 식 (9)를 식 (5)에 대입하면 추력도 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& F_T=2\rho A_T{v}_1^2{a}_{ax}(1-a_{ax})\end{array}$$

 

식 (10)과 (11)로부터 파워계수(power coefficient) $C_P$와 추력계수(thrust coefficient) $C_T$를 정의할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& & C_P=\frac{P_{mech}}{P_{ref}}=\frac{2\rho A_T{v}_1^3{a}_{ax}(1-a_{ax}{)}^2}{\frac{1}{2}\rho A_T{v}_1^3}=4a_{ax}(1-a_{ax}{)}^2\\ \text{(13)}& & C_T=\frac{F_T}{F_{ref}}=\frac{F_T}{\frac{P_{ref}}{v_1}}=\frac{2\rho A_T{v}_1^2{a}_{ax}(1-a_{ax})}{\frac{1}{2}\rho A_T{v}_1^2}=4a_{ax}(1-a_{ax})\end{array}$$

 

여기서 $P_{ref}$와 $F_{ref}$는 각각 기준 파워와 기준 추력으로서 풍력터빈에 불어오는 바람의 속도 $v_1$과 풍력터빈의 단면적 $A_T$를 기준으로 계산한 바람의 파워와 추력이다.

파워계수와 추력계수를 이용하면 풍력터빈이 바람에너지로부터 추출하는 파워와 바람이 풍력터빈에 가하는 추력을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& & P_{mech}=C_P\frac{1}{2}\rho A_T{v}_1^3\\ \text{(15)}& & F_T=C_T\frac{1}{2}\rho A_T{v}_1^2\end{array}$$

 

한편 풍력터빈이 바람 에너지로부터 추출 가능한 이론적인 최대 파워는 얼마일까. 식 (12)로부터 $C_P$의 최대값를 계산하면 알 수 있다. $C_P$를 미분하여 $0$으로 두면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& \frac{d{C}_P}{d{a}_{ax}}& =4(1-a_{ax}{)}^2-8a_{ax}(1-a_{ax})\\ & =4(1-a_{ax})(1-3a_{ax})\\ \\ & =0\end{array}$$

 

$a_{ax}=\frac{1}{3}$일 때 최대값을 갖고 그 때의 값은 $C_P=\frac{16}{27}\approx 0.593$ 이 나온다. 이를 Betz의 한계라고 한다.