바람 에너지

바람(wind)이 갖는 운동 에너지는 얼마일까. 그리고 그 중 얼마나 전기 에너지로 변환시킬 수 있을까.

 

 

바람 에너지를 전기 에너지로 변환해 주는 장치가 풍력터빈(Wind Turbine)이다. (어린 시절 바람개비를 갖고 놀던 사람으로서 Wind Turbine을 바람터빈이라고 번역하면 어떨까 싶다.)

 

 

풍력터빈은 단독으로 운영되기도 하지만 보통 수 십개에서 수 백개를 한꺼번에 운용하는 것이 보통이다. 풍력터빈을 모아 놓은 단지를 Wind Farm이라고 하는데 번역은 풍력단지라고 한다. (TV동물농장의 애청자로서 이 역시 바람농장이라고 번역하면 어떨까 싶다.)

 

 

속도가 \(v_1\)이고 질량이 \(m\)인 공기 덩어리가 갖는 운동 에너지는 \(E_{wind}=\frac{1}{2} mv_1^2\)이다. 파워(power)는 단위 시간당 에너지로 정의되므로 바람의 파워는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ P_{wind}= \frac{dE_{wind}}{dt}= \frac{1}{2} \frac{dm}{dt} v_1^2 \tag{1} \]

 

여기서 바람 속도는 일정하다고 가정한다. 바람이 풍력터빈에 전달해 줄 수 있는 파워를 계산하기 위해서 다음 그림과 같이 풍력터빈을 공기가 자유롭게 투과할 수 있는 이상적인 얇은 원판으로 가정하고(actuator disk model이라고 한다) 풍력터빈 전후의 공기 흐름의 궤적을 그려보자. 이 흐름선을 유선(stream line)이라고 한다.

풍력터빈의 영향을 받지 않을 만큼 충분히 멀리 떨어진 거리에 있는 풍력터빈 앞단에서의 유선 다발 단면적을 \(A_1\)이라고 하고 그 위치에서의 공기 속도를 \(v_1\)이라고 하자. 그리고 풍력터빈의 단면적을 \(A_T\), 풍력터빈 위치에서의 공기 속도를 \(v_T\)라고 하고, 마지막으로 풍력터빈 뒷단에서의 유선다발 단면적을 \(A_2\), 그 위치에서의 공기 속도를 \(v_2\)라고 하자.

 

 

공기가 비압축성이라고 가정하면 질량 보존의 법칙에 의해서 단위 시간동안 각 단면을 통과하는 공기의 질량 \(\frac{dm}{dt}\)은 모든 단면에서 같다. 즉,

 

\[ \frac{dm}{dt} = \rho A_1 v_1 = \rho A_T v_T = \rho A_2 v_2 \tag{2} \]

 

여기서 \(\rho\)는 공기의 밀도이고 단면에서 바람의 속도는 같다고 가정한다. 식 (2)를 (1)에 대입하면 바람의 파워를 계산할 수 있다.

 

\[ P_{wind}= \frac{1}{2} \rho A_1 v_1^3 \tag{3} \]

 

바람의 파워는 공기의 밀도와 바람 속도의 세제곱에 비례한다는 것을 알 수 있다. 풍력터빈이 바람으로부터 추출하는 파워는 단면 \(A_1\)에서 계산되는 파워와 단면 \(A_2\)에서 계산되는 파워의 차이에 해당한다.

 

\[ \begin{align} P_a &= \frac{1}{2} \frac{dm}{dt} \left( v_1^2-v_2^2 \right) \tag{4} \\ \\ &= \frac{1}{2} \rho A_1 v_1^3- \frac{1}{2} \rho A_2 v_2^3 \end{align} \]

 

한편 바람이 풍력터빈을 통과하면서 파워를 잃기 때문에 속도가 감소하는데, 바람의 속도가 감소한다는 것은 풍력터빈이 공기에 힘 \(F_{ax}\)를 가하여 공기의 흐름을 방해한 결과로도 볼 수 있다.

 

\[ \begin{align} F_{ax} &= \frac{dm}{dt} (v_1-v_2 ) \tag{5} \\ \\ &= \rho A_1 v_1^2- \rho A_2 v_2^2 \end{align} \]

 

 

작용 반작용의 법칙에 의하면 동일한 크기의 반대방향의 힘을 공기가 풍력터빈에 가하게 되는데 이 힘 \(F_T\)를 추력(thrust force)라고 한다. 추력은 바람의 방향과 같다.

 

 

한편 풍력터빈을 통과하는 바람의 속도는 \(v_T\)이므로 바람이 풍력터빈에 전달하는 파워는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} P_{mech} &= F_T v_T \tag{6} \\ \\ &= \frac{dm}{dt} (v_1-v_2 ) v_T \end{align} \]

 

식 (4)와 (6)에서 계산한 파워는 동일한 것이므로, 바람이 풍력터빈을 통과할 때의 속도는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ v_T= \frac{(v_1+v_2)}{2} \tag{7} \]

 

위 식에 의하면 바람의 속도가 풍력터빈의 영향 때문에의 처음 속도 \(v_1\)에서 풍력터빈의 위치에서는 \(v_T\)로 속도가 감소한 것인데 처음 속도 대비 감소한 속도의 비율을 축방향 유도계수(axial induction factor)라고 한다.

 

\[ a_{ax}= \frac{v_1-v_T}{v_1} \tag{8} \]

 

축방향 유도계수를 이용하면 속도 \(v_T\)와 \(v_2\)를 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \begin{align} & v_T=v_1-a_{ax} v_1 \tag{9} \\ \\ & v_2=v_1-2a_{ax} v_1 \end{align} \]

 

식 (9)를 식 (6)에 대입하면 풍력터빈이 추출하는 파워를 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ P_{mech} = 2 \rho A_T v_1^3 a_{ax} (1-a_{ax})^2 \tag{10} \]

 

또한 식 (9)를 식 (5)에 대입하면 추력도 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ F_T = 2 \rho A_T v_1^2 a_{ax} (1-a_{ax}) \tag{11} \]

 

식 (10)과 (11)로부터 파워계수(power coefficient) \(C_P\)와 추력계수(thrust coefficient) \(C_T\)를 정의할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & C_P = \frac{P_{mech}}{P_{ref}} = \frac{2 \rho A_T v_1^3 a_{ax} (1-a_{ax})^2 }{ \frac{1}{2} \rho A_T v_1^3 } = 4a_{ax}(1-a_{ax})^2 \tag{12} \\ \\ & C_T = \frac{F_T}{F_{ref}} = \frac{F_T}{\frac{P_{ref}}{v_1}} = \frac{2 \rho A_T v_1^2 a_{ax} (1-a_{ax}) }{ \frac{1}{2} \rho A_T v_1^2 } = 4a_{ax}(1-a_{ax}) \tag{13} \end{align} \]

 

여기서 \(P_{ref}\)와 \(F_{ref}\)는 각각 기준 파워와 기준 추력으로서 풍력터빈에 불어오는 바람의 속도 \(v_1\)과 풍력터빈의 단면적 \(A_T\)를 기준으로 계산한 바람의 파워와 추력이다.

파워계수와 추력계수를 이용하면 풍력터빈이 바람에너지로부터 추출하는 파워와 바람이 풍력터빈에 가하는 추력을 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & P_{mech} = C_P \frac{1}{2} \rho A_T v_1^3 \tag{14} \\ \\ & F_T= C_T \frac{1}{2} \rho A_T v_1^2 \tag{15} \end{align} \]

 

한편 풍력터빈이 바람 에너지로부터 추출 가능한 이론적인 최대 파워는 얼마일까. 식 (12)로부터 \(C_P\)의 최대값를 계산하면 알 수 있다. \(C_P\)를 미분하여 \(0\)으로 두면,

 

\[ \begin{align} \frac{dC_P}{da_{ax}} &= 4 (1-a_{ax})^2 - 8 a_{ax} (1-a_{ax}) \tag{16} \\ \\ & = 4 (1-a_{ax})(1-3a_{ax}) \\ \\ & = 0 \end{align} \]

 

\(a_{ax}= \frac{1}{3}\)일 때 최대값을 갖고 그 때의 값은 \(C_P =\frac{16}{27} \approx 0.593\) 이 나온다. 이를 Betz의 한계라고 한다.