true anomaly8 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 4 우주비행체의 비행시간과 실제 비행각과의 함수 관계를 다루는 문제를 케플러 문제 (Kepler's problem)라고 한다. 케플러 문제는 비행시간(time of flight) 계산 문제와 예측(prediction) 문제로 나눌 수 있다. 비행시간 계산 문제는 시간 \(t=t_0\) 에서 실제 비행각(true anomaly) \(\theta_0\)가 주어졌을 때 비행각이 \(\Delta \theta\) 만큼 변화하기까지 필요한 비행시간 \(t-t_0\) 을 계산하는 문제다. 예측 문제는 비행시간 계산 문제의 역으로서 시간 \(t=t_0\) 에서 실제 비행각 \( \theta_0\) 과 비행시간 \(t-t_0\) 이 주어졌을 때 실제 비행각 \(\theta (t)\) 를 계산하는 문제다. 이전 게시글을 통해.. 2023. 12. 1. 라그랑지 계수 (Lagrange coefficients) - 2 라그랑지 계수(Langrange coefficients)를 실제 비행각(true anomaly)의 변화량 \(\Delta \theta\) 의 함수로 표현했는데(https://pasus.tistory.com/311), 이를 범용변수(universal variable) \(\chi\) 의 함수로 표현할 수도 있다. 라그랑지 계수는 궤도중심좌표계(perifocal frame)의 각 축 성분을 이용하여 다음과 같이 계산했었다. \[ \begin{align} f &= \frac{x\dot{y}_0-y\dot{x}_0}{h}, \ \ \ \ \ g= \frac{-xy_0+yx_0}{h} \tag{1} \\ \\ \dot{f} &= \frac{\dot{x} \dot{y}_0- \dot{y} \dot{x}_0}{h},.. 2023. 11. 30. 라그랑지 계수 (Lagrange coefficients) - 1 어느 우주비행체의 초기 위치벡터 \(\vec{r}_0\) 와 속도벡터 \(\vec{v}_0\) 가 주어졌을 때, 실제 비행각(true anomaly)이 \(\Delta \theta\) 만큼 변화한 후, 변화된 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}, \vec{v}\) 를 초기 위치벡터 및 속도벡터, 그리고 \(\Delta \theta\) 의 함수로 표현하고자 한다. 우주비행체는 궤도면(orbital plane) 상에서만 운동하므로(https://pasus.tistory.com/96) 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}, \vec{v}\) 는 항상 궤도면 상에 존재한다. 따라서 임의의 시간에서의 위치벡터와 속도벡터는 초기 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}_0, \vec{v}_0\) 의 선형 조합으로 표.. 2023. 11. 27. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 2 타원궤도와 비슷한 방법으로 이번에는 쌍곡선궤도의 케플러 문제를 풀어보자. 원점이 두 초점 사이의 중간에 있는 직교 좌표계에서 쌍곡선 방정식을 표현하면 다음과 같다. \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \tag{1} \] 한편 이전 게시글(https://pasus.tistory.com/171)에서 쌍곡선 방정식을 극좌표계로 다음과 같이 표현한 바 있다. \[ r= \frac{a(e^2-1)}{1+e \cos \theta }, \ \ \ \ \ a \gt 0, \ \ \ e \gt 1 \tag{2} \] 위 그림에 나와있는 것처럼 \(x\) 는 다음과 같다. \[ \begin{align} x &= -a-r_p+r \cos \theta \tag{3} \\ \\ &=-a-a(.. 2023. 11. 22. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 1 궤도가 주어졌을 때 우주비행체가 궤도상의 한 지점에서 다른 지점까지 비행하는데 걸리는 비행시간(time of flight)을 함수의 적분 해를 이용하여 계산해 보았다 (https://pasus.tistory.com/307). 하지만 케플러는 미적분이 발명되기 80여년전에 이미 기하학적인 방법을 사용하여 시간 \(t=t_0\) 에서의 실제 비행각(true anomaly) \(\theta_0 = \theta(t_0)\) 와 임의의 실제 비행각 \(\theta(t)\) 가 주어졌을 때 비행시간 \(t-t_0\) 을 계산하였고, 또 역으로 시간 \(t=t_0\) 에서의 실제 비행각 \(\theta_0 \) 와 임의의 비행시간 \(t-t_0\) 가 주어졌을 때 실제 비행각 \(\theta(t)\) 를 구하는 예측.. 2023. 11. 18. 궤도의 비행각과 비행시간 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터 및 속도벡터를 고전 궤도요소(COE)로 변환하면 궤도의 크기, 모양, 자세에 대해 알 수 있다 (https://pasus.tistory.com/287). 궤도의 크기, 모양, 자세는 ECI좌표계에서 일정하게 유지되고 6개의 궤도요소 중에서 궤도상의 우주비행체의 위치를 나타내는 실제 비행각(true anomaly) \(\theta\) 만이 시간의 함수이므로, 우주비행체는 마치 우주공간에 있는 미리 정해진 철로를 따라 운행하는 기차와 같다고 볼 수 있다. 이제 궤도가 주어졌을 때 우주비행체가 궤도상의 한 지점에서 다른 지점까지 비행하는데 걸리는 비행시간(time of flight)을 계산해 보도록 하자. 궤도 상에서 우주비행체의 위치는 실제 비행각으로 나타낼 수 .. 2023. 11. 16. 이체문제에서 궤도의 모양 이체문제(two-body problem) 가정하에서 다음 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{ ^i d^2 \vec{r} }{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \tag{1} \] 여기서 \(\mu=GM\) 은 중력 파라미터, \(\vec{r}\) 은 관성 좌표계 \(\{i\}\) 의 원점에서 질점 \(m \ll M\) 까지의 위치벡터, \(r\) 은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 그리고 기본 방정식으로부터 다음과 같이 궤적 방정식(trajectory equation)을 유도하였다. \[ r= \frac{p}{1+e \cos \theta } \tag{2} \] 여기서 \(p\) 는 통반경 (semi-latus rectum), \(e\) 는 이심율 (e.. 2021. 12. 13. 기본 궤도 미분 방정식 - 궤적 방정식 이체문제 가정하에서 다음과 같이 기본 궤도 미분 방정식을 유도한 바 있다. \[ \frac{^i d^2 \vec{r}}{ dt^2} + \frac{\mu}{r^3} \vec{r} =0 \] 여기서 \(\mu=GM\)은 중력 파라미터, \(\vec{r}\)은 관성 좌표계 \(\{i\}\)의 원점에서 질점 \(m\)까지의 위치 벡터, \(r\)은 위치 벡터의 크기, 즉 거리다. 위 식으로 알 수 있는 것에는 또 무엇이 있을까. 궤도의 모양을 알 수 있다. 궤도 미분 방정식에 의하면 궤도의 모양은 4가지밖에 없다. 원궤도, 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도가 그것이다. 어떻게 궤도의 모양을 알 수 있는지 살펴보도록 하자. 사실 궤도 미분 방정식을 풀면 질점 \(m\)의 운동 궤도 모양을 알 수 있다. 위 식은.. 2021. 3. 1. 이전 1 다음
