행렬의 덧셈과 곱셈

사이즈가 같은 두 개의 행렬 A와 B의 덧셈은 다음과 같이 각 행렬의 구성 성분 간의 덧셈으로 정의한다. 즉 \( A = [a_{ij}] \)이고 \( B=[b_{ij}] \)일 때, 두 행렬의 덧셈은 \( A+B=[a_{ij}+b_{ij}] \)이다.

 

 

예를 들면,

 

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix}, \ \ \ B = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \]

 

일 때, 두 행렬의 덧셈은 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} C = A+B &= \begin{bmatrix} 2+1 & 3-1 & 1+0 \\ 5+2 & -2+4 & 7+3 \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 7 & 2 & 10 \end{bmatrix} \end{align} \]

 

덧셈의 정의에 의하면 사이즈가 다른 두 행렬의 덧셈은 불가능하다.

사이즈가 \( m \times n \) 인 행렬 \( A=[a_{ij}] \)와 스칼라 값 \( k \)의 곱셈 \( kA \)는 행렬 \( A \)의 모든 성분 값과 \( k \)의 곱셈인 \( kA=[ka_{ij}] \)로 정의한다. 예를 들면

 

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix}, \ \ \ k=2 \]

 

일 때, \( kA \)는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} kA = 2A &= \begin{bmatrix} 2(2) & 2(3) & 2(1) \\ 2(5) & 2(-2) & 2(7) \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 10 & -4 & 14 \end{bmatrix} \end{align} \]

 

\( (-1)A \)는 간단히 \( -A \)로 표기한다. 그러면 두 행렬의 뺄셈은 따로 정의하지 않아도 자연스럽게 \( A+(-1)B=A-B \)의 형태로 표기할 수 있다. \( k=0 \)이라면 \( 0A=0 \)이 되어 모든 성분이 \( 0 \)인 \( m \times n \) 행렬이 된다. 이를 \( 0 \) 행렬이라고 한다.

사이즈가 같은 두 행렬의 덧셈의 정의와 스칼라와 행렬의 곱셈의 정의는 매우 자연스럽게 보인다. 이번에는 두 행렬의 행렬 곱셈을 정의한다.

사이즈가 \( m \times n \) 인 행렬 \( A=[a_{ij}] \)와 사이즈가 \( n \times p \) 인 행렬 \( B=[b_{ij}] \)의 행렬 곱셈 \( C=AB \)는 다음과 같이 정의한다.

 

\[ C=[c_{ik} ]=[ a_{i1} b_{1k} + a_{i2} b_{2k} + \cdots + a_{in} b_{nk} ] \tag{1} \]

 

행렬 곱셈에서 주의할 점은 두 행렬의 곱셈이 가능하려면 행렬 \( A \)의 열과 행렬 \( B \)의 행의 개수가 똑같아야 한다는 것이다. 그러면 곱셈의 결과로 나온 행렬 \( C \)의 사이즈는 행렬 \( A \)의 행의 개수와 행렬 \( B \)의 열의 개수인 \( m \times p \) 가 된다.

 

 

행렬 곱셈의 정의가 덧셈과는 다르게 이상하고 복잡하게 보인다. 그렇더라도 우선 정의대로 곱셈 계산을 할 수 있는 것이 중요하다.

행렬 곱셈의 예로서 아래 그림에 나와 있듯이 행렬 C의 3행2열 값을 계산하기 위해서는 정의에 의해서 다음과 같이 행렬 A의 3행과 행렬 B의 2열의 성분을 모두 곱해서 더해야 한다.

 

 

\[ \begin{align} c_{32} &= a_{31} b_{12} + a_{32} b_{22} + a_{33} b_{32} + a_{34} b_{42} \\ \\ &= 0(1)+7(1)-2(1)+2(-2) \\ \\ &= 1 \end{align} \]

 

행렬에 관련된 많은 정의와 개념들은 주로 선형 연립 방정식을 푸는 과정에서 도출되었다. 행렬 곱셈의 정의도 마찬가지다.

예를 들어서 다음과 같은 연립 방정식이 있을 때,

 

\[ \begin{align} & 2x_1+3x_2+x_3 =9 \\ \\ & 5x_1-2x_2+7x_3 = -3 \end{align} \tag{2} \]

 

관련 행렬을 다음과 같이 설정하면,

 

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix}, \ \ \ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}, \ \ \ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 9 \\ -3 \end{bmatrix} \tag{3} \]

 

연립 방정식 (2)는 다음과 같이 행렬 곱셈으로 간단하게 표현할 수 있다.

 

\[ A \mathbf{x} = \mathbf{b} \tag{4} \]

 

만약 식 (2)의 \( x_1, \ x_2, \ x_3 \)도 다음과 같이 \( y_1, \ y_2 \)에 관한 연립 방정식으로 주어졌다면,

 

\[ \begin{align} & x_1=y_1+y_2 \\ \\ & x_2=y_1-y_2 \\ \\ & x_3=2y_2 \end{align} \tag{5} \]

 

식 (2)와 마찬가지로 식 (5)도 관련 행렬을 다음과 같이 설정하면,

 

\[ B = \begin{bmatrix} 2 &1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \ \ \ \mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} \tag{6} \]

 

다음과 같이 행렬 곱셈으로 간단하게 표현할 수 있다.

 

\[ \mathbf{x} = B \mathbf{y} \tag{7} \]

 

식 (2)의 \( x_1, \ x_2, \ x_3 \)에 관한 연립 방정식에 식 (5)를 대입하면 다음과 같이 \( y_1, \ y_2 \)에 관한 연립 방정식으로 표현할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & 2(y_1+y_2 )+3(y_1-y_2 )+2y_2 = 5y_1+y_2 = 9 \\ \\ & 5(y_1+y_2)-2(y_1-y_2 )+7(2y_2 ) = 3y_1+21y_2 = -3 \end{align} \tag{8} \]

 

한편, 식 (4)와 (7)을 이용하면 식 (8)을 쉽게 계산해 낼 수 있다.

 

\[ A \mathbf{x} = A B \mathbf{y} = C \mathbf{y} = \mathbf{b} \tag{9} \]

 

여기서 행렬 \( C \)는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} C=AB &= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 5 & -2 & 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \\ \\ &= \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 3 & 21 \end{bmatrix} \end{align} \tag{10} \]

 

언뜻 보기에 부자연스러웠지만 행렬 곱셈을 식 (1)로 정의했기 때문에 가능한 일이다.