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선형대수

정정(positive-definite) 행렬이란

by 세인트워터멜론 2020. 7. 20.

다음과 같은 행렬 부등식을 가끔 볼 수 있다.

 

\[ A>0 \]

 

행렬 \( A \)가 0 보다 크다는 이야기인 것 같은데 ‘크다’ 또는 ‘작다’는 실수값에 대해서나 하는 이야기이지 어떻게 행렬에 대해서 말할 수 있을까. 혹시 행렬 \( A \)의 모든 성분이 0보다 크다는 것을 의미하는 것일까? 아니다.

 

 

위 식은 행렬 \( A \)가 정정 행렬(positive-definite matrix)이라는 것을 나타내는 기호이다. 부등호에 등호를 함께 쓴 다음 식은 행렬 \( A \)가 준정정 행렬(positive semi-definite matrix)이라는 것을 나타내는 기호이다.

 

\[ A \ge 0 \]

 

그렇다면 정정 행렬이란 무엇인가.
성분이 모두 실수이고 대칭인 \( n \times n \) 정방(square) 행렬 \( A=A^T \)가 \( \mathbf{x} \ne 0 \)인 모든 벡터에 대해서 다음 부등식을 만족하면 행렬 \( A \)를 정정 행렬이라고 정의한다.

 

\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} > 0, \ \ \ \forall \mathbf{x} \ne 0 \ \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ A > 0 \]

 

행렬 \(A \)의 성분에 복소수가 있다면 대칭 행렬 대신에 켤레복소수 대칭(Hermitian) 행렬을, 벡터 \( \mathbf{x} \)의 전치(transpose)대신에 켤레복소수 전치를 사용하여 정의한다.

성분이 모두 실수이고 대칭인 \( n \times n \) 정방 행렬 \( A \)가 모든 벡터 \( \mathbf{x} \)에 대해서 다음 부등식을 만족하면 행렬 \( A \)를 준정정 행렬이라고 정의한다.

 

\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \ge 0 , \ \ \ \forall \mathbf{x} \ \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ A \ge 0 \]

 

정정 행렬과의 차이점은 벡터 \( \mathbf{x} \)가 0이 아니라는 조건이 없다는 것이다.

그러면 예를 들어 보자. 다음 행렬은 정정 행렬이다.

 

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

 

정의대로 확인해 보자. 벡터를 \( \mathbf{x} = [x_1 \ \ x_2 ]^T \)로 놓으면, \( x_1 \ne 0, x_2 \ne 0 \)일 때,

 

\[ \begin{align} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} &= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\ \\ &= 2 x_1^2 +2 x_1 x_2 +2 x_2^2 \\ \\ &= (x_1 + x_2 )^2 + x_1^2 + x_2^2 > 0 \end{align} \]

 

이기 때문이다.

다음 행렬은 준정정 행렬이다.

 

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \]

 

벡터를 \( \mathbf{x} = [x_1 \ \ x_2 ]^T \)로 놓으면,

 

\[ \begin{align} \mathbf{x}^T A \mathbf{x} &= \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \\ \\ &= x_1^2 +2 x_1 x_2 + x_2^2 \\ \\ &= (x_1 + x_2 )^2 \ge 0 \end{align} \]

 

이기 때문이다. \( x_1= - x_2 \)일 때는 \( \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = 0 \)이 된다.

어떤 행렬이 정정 행렬인지 아닌지를 정의대로 판별하기는 쉽지 않다. 정정 행렬 여부를 행렬식(determinant)으로 판별하는 방법이 있고, 고유값(eigenvalue)을 구해서 판별하는 방법이 있다. 고유값을 이용해서 정정 행렬을 판별하는 방법에 대해서는 다음 포스트에서 알아보기로 한다.

그럼 다음 행렬 부등식은 어떤 의미일까.

 

\[ A > B \]

 

이것은 행렬 \( (A-B) \)가 정정 행렬임을 의미한다.

 

\[ A - B > 0 \]

 

비슷한 방법으로 부정(negative-definite) 행렬과 준부정(negative semi-definite) 행렬도 다음과 같이 정의한다.

 

\[ \begin{align} &\mathbf{x}^T A \mathbf{x} < 0, \ \ \ \forall \mathbf{x} \ne 0 \ \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ A < 0 \\ \\ &\mathbf{x}^T A \mathbf{x} \le 0, \ \ \ \forall \mathbf{x} \ \ \ \ \leftrightarrow \ \ \ A \le 0 \end{align} \]

 

 

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