실수 대칭행렬의 고유값과 고유벡터

행렬의 성분이 모두 실수(real number)이고 대칭인 행렬을 실수 대칭행렬이라고 한다. 일반적인 행렬에서 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)는 복소수 값을 가질 수 있다.

 

 

하지만 실수 대칭행렬의 고유값과 고유벡터는 모두 실수값이다. 또한 서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터는 서로 직각이다.
이를 증명해 보자.

 

 

먼저 \( n \times n \) 정방 행렬 \( A \)의 고유값과 고유벡터는 다음과 같이 정의된다. 

 

\[ A \mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} \tag{1} \]

 

여기서 \( \lambda \)는 고유값, \( \mathbf{v} 는\) 그에 해당하는 고유벡터다.
켤레 복소수를 사용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

\[ \bar{A} \bar{ \mathbf{v} }= \bar{\lambda} \bar{ \mathbf{v} } \tag{2} \]

 

여기서 바(bar)는 켤레 복소수를 나타내는 기호이다. \( A \)는 실수 행렬이므로 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ A \bar{ \mathbf{v} }= \bar{\lambda} \bar{ \mathbf{v} } \tag{3} \]

 

식 (3)에 의하면 \( A \)가 실수 행렬인 경우, \( \lambda \)와 \( \mathbf{v} \)가 고유값과 고유벡터이면 그 켤레 복소수와 켤레 복소벡터인 \( \bar{\lambda} \)와 \( \bar{ \mathbf{v} } \)도 고유값과 고유벡터가 되는 것을 알 수 있다.

\( A \)는 또한 대칭 행렬 \( A=A^T \)이므로 위 식의 양변을 전치(transpose)하면 다음 식이 된다.

 

\[ \bar{ \mathbf{v} }^T A = \bar{\lambda} \bar{ \mathbf{v} }^T \tag{4} \]

 

이제 식 (1)의 양변에 \( \bar{ \mathbf{v} }^T \)를 곱해보자. 그러면,

 

\[ \bar{ \mathbf{v} }^T A \mathbf{v} = \lambda \bar{ \mathbf{v} }^T \mathbf{v} \tag{5} \]

 

이 된다. 한편 식 (4)의 양변에 \( \mathbf{v} \)를 곱하면,

 

\[ \bar{ \mathbf{v} }^T A \mathbf{v}= \bar{\lambda} \bar{ \mathbf{v} }^T \mathbf{v} \tag{6} \]

 

이 된다. 식 (5)와 (6)은 같은 값을 가지므로 다음 식이 성립한다.

 

\[ ( \lambda - \bar{\lambda} ) \bar{ \mathbf{v} }^T A \mathbf{v} = 0 \tag{7} \]

 

따라서 

 

\[ \lambda = \bar{\lambda} \tag{8} \]

 

이 되므로 고유값은 실수값임이 증명되었다.

한편, 고유값과 고유벡터의 정의에서 

 

\[ (A- \lambda I) \mathbf{v} = 0 \tag{9} \]

 

\( (A-\lambda I) \)가 실수 행렬이므로 \( \lambda \)에 해당하는 고유벡터 \( \mathbf{v} \)도 실수 벡터가 되어야 한다.

고유값 \( \lambda \)에 해당하는 고유벡터를 \( \mathbf{v} \), 고유값 \( \mu \)에 해당하는 고유벡터를 \( \mathbf{w} \)라고 하면, 정의에 의해서 다음 식이 성립한다. 

 

\[ \begin{align} A \mathbf{v} &= \lambda \mathbf{v} \\ \\ A \mathbf{w} &= \mu \mathbf{w} \end{align} \tag{10} \]

 

위 식의 양변의 각각 \( \mathbf{w}^T \)와 \( \mathbf{v}^T \)를 곱하면 다음과 같이 된다. 

 

\[ \begin{align} \mathbf{w}^T A \mathbf{v} &= \lambda \mathbf{w}^T \mathbf{v} \\ \\ \mathbf{v}^T A \mathbf{w} &= \mu \mathbf{v}^T \mathbf{w} \end{align} \tag{11} \]

 

위 두 식은 모두 스칼라이고 \( A=A^T \)이므로 두 개의 식은 같다. 즉, 

 

\[ \begin{align} \mathbf{v}^T A \mathbf{w} &= \mathbf{w}^T A^T \mathbf{v} \\ \\ &= \mathbf{w}^T A \mathbf{v} \end{align} \tag{12} \]

 

이다. 따라서 

 

\[ (\lambda - \mu ) \mathbf{w}^T \mathbf{v}= 0 \tag{13} \]

 

되어야 하는데 \( \lambda \ne \mu \)이므로 \( \mathbf{w}^T \mathbf{v}=0 \)이 되어야 한다. 이로써 서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터는 서로 직각임이증명되었다.

 

정리하면 다음과 같다.

 

"실수 대칭행렬의 고유값과 고유벡터는 모두 실수값이다.

또한 서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터는 서로 직각이다."