만유인력의 법칙

뉴턴의 만유인력의 법칙(law of universal gravitation)은 질량을 가진 물체사이에 작용하는 인력(끌어당기는 힘)에 관한 것으로서 뉴턴은 이 법칙을 제2법칙과 결합하여 행성의 운동을 해석하고 케플러 법칙을 증명하였다.

 

 

만유인력의 법칙에 의하면 두 질점 간의 인력은 두 질점을 연결한 선과 평행하게 작용하며 크기는 두 질점의 질량의 곱에 비례하고 두 질점 사이의 거리의 제곱에 반비례한다.

 

 

이를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \vec{F}_1 &= G \frac{Mm}{r^2} \hat{e}_r \tag{1} \\ \\ &= G \frac{Mm}{r^2} \frac{\vec{r}}{r} \end{align} \]

 

여기서 \(M, m \)은 두 질점의 질량, \( \vec{F}_1\)은 질점 \(M\)에 작용하는 인력, \(\vec{r}\)은 질점 \(M\)에서 \(m\)까지의 위치벡터, \(r\)은 두 질점 사이의 거리 또는 위치벡터 \(\vec{r}\)의 크기, \(\hat{e}_r\)은 \(\vec{r}\)과 같은 방향을 가진 단위벡터로서 \(\hat{e}_r= \vec{r} / r \)이다. 질점 \(m\)에 작용하는 인력 \(\vec{F}_2\)는 \(\vec{F}_1\)과 크기는 같고 방향은 반대이므로 \(\vec{F}_2=-\vec{F}_1\)이다. 만유인력 상수 \(G\)는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ G=6.6726 \times 10^{-17} \ N \ km^2 / kg^2 \]

 

뉴턴의 만유인력의 법칙은 중력의 작용에 대해 설명할 뿐 질량을 가진 물체 사이에 서로 끌어당기는 힘이 왜 생기는지에 대한 근본 원인은 알려주지 않는다. 만유인력의 근원은 아직까지 밝혀지지 않은 것 같다. 연구에 의하면 만유인력은 물질 자체에 들어있는 중력자의 의해서 발생한다는 학설도 있고, 질량으로 인해 4차원의 시공간이 휘어져 나타나는 현상이라고 설명하기도 한다.

중력 가속도의 크기(\(g\)값)는 식 (1)로부터 유도할 수 있다.

 

 

\(M\)을 지구로 보면 지구와 질점 \(m\)간의 만유인력에 의한 질점 \(m\)의 중력 가속도 크기 \(g\)는 다음 식을 만족한다.

 

\[ G \frac{Mm}{r^2} = gm \]

 

따라서 중력 가속도의 크기는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ g=G \frac{M}{r^2} \]

 

지구의 평균 반지름 \(R_E=6378.14 \ km\)와 지구의 질량 \(M_E=5.974 \times 10^{24} \ kg\)을 이용하면 지표면에서의 중력 가속도 크기는 \(g=9.799 \ m / s^2\)으로 계산된다.