리야프노프 안정성 (Lyapunov stability) 이론

시불변 시스템 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 의 안정성에 대한 정의에 이어서 이번에는 시스템의 안정성을 판별할 수 있는 이론에 대해서 알아보겠다.

 

 

시스템이 선형 시불변이라면 시스템의 고윳값(eigenvalue)을 이용하여 쉽게 안정성을 판별할 수 있다. 시스템이 비선형일 경우에도 평형상태에 대해서 선형화를 한 후에 평형상태 근방에서 로컬 안정성을 판별할 수 있을 것이다. 이와 같은 안정성 판별 방법을 간접방법(indirect method)이라고 한다.

그러나 선형화를 사용하여 비선형 시스템의 로컬 안정성을 파악할 수 없는 상황이 있을 수 있다. 또한 선형화는 그 속성상 비선형 시스템의 전역(global) 안정성에 대해서는 알려줄 수가 없다. 물론 비선형 시스템의 해를 구할 수 있다면 안정성을 쉽게 판별할 수 있겠지만 일반적으로 해를 명시적으로 구하는 것은 쉽지 않은 일이다.

리야프노프 안정성(Lyapunov stability) 이론은 시스템의 해를 구하지 않고도 시스템의 안정성을 판별할 수 있게 해준다. 이 이론에 의한 안정성 판별 방법을 리야프노프 직접방법(Lyapunov direct method)이라고 한다. 리야프노프 안정성 이론은 시변(time-varying) 시스템에도 적용할 수 있지만 여기서는 시불변 시스템에 대해서만 논하기로 한다.

이제부터 편의상 시스템의 평형상태를 \(0\) 으로 놓고 논의를 진행하겠다. 좌표변환을 이용하면 각 평형상태를 모두 \(0\) 으로 만들 수 있기 때문이다. 즉 평형상태가 \(\mathbf{x}_e\) 라고 할 때 새로운 변수를 \(\mathbf{y}= \mathbf{x}-\mathbf{x}_e\) 로 정의한다면 시스템 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 는 \(\dot{\mathbf{y}} = \mathbf{f}(\mathbf{y} + \mathbf{x}_e)\) 로 쓸 수 있고 이 때 평형상태는 \(\mathbf{y}_e=0\) 이 된다.

리야프노프 안정성 이론은 정정함수(positive definite function)에 기반을 두고 있기 때문에 우선 이 함수에 대한 정의를 알아야 한다. 'Positive definite function'은 여러가지로 번역되고 있는데 'positive-definite matrix'를 정정행렬이라고 번역한 바 있기 때문에 여기서는 이와 결을 맞춰서 정정함수라고 번역하고자 한다.

로컬 정정함수(locally positive definite function) \(V(\mathbf{x})\) 는 다음 두가지 조건을 만족하는 스칼라 함수로 정의한다.

      1. \(V(\mathbf{x}) \gt 0, \ \ \forall \mathbf{x} \ne 0 \ \mbox{ and } \ \lVert \mathbf{x} \rVert \lt r \)

      2. \(V(0)=0\)

즉 로컬 정정함수는 일정 영역 \(0 \lt \lVert \mathbf{x} \rVert \lt r\) 에서 모든 \(\mathbf{x}\) 값에 대해서 양(positive)의 수를 갖는 함수다.

전역(global) 정정함수 \(V(\mathbf{x})\) 는 다음 세가지 조건을 만족하는 스칼라 함수다.

      1. \(V(\mathbf{x}) \gt 0, \ \ \forall \mathbf{x} \ne 0 \)

      2. \(V(0)=0\)

      3. \(V(\mathbf{x}) \to \infty \ \ \mbox{as } \lVert \mathbf{x} \rVert \to \infty\)

전역 정정함수는 로컬 정정함수를 무한한 영역, 즉 \(r \to \infty\) 로 확장한 것 외에 3번 조건이 하나 더 추가된 것이다. 3번 조건을 radially unboundness 조건이라고 한다. 벡터 \(\mathbf{x}\) 의 크기가 모든 방향에서 무한대로 커질수록 함수 값도 무한대로 커져야 한다는 '방사형 무한함수' 조건이다.

일반적으로 로컬이라는 말이 없이 그냥 정정함수라고 하면 전역 정정함수를 일컫는다.

예를 들어서 \(V(x)=x^2\) 은 정정함수다. 반면에 \(V(x)=1-\cos ⁡x\) 는 3번 조건에 위배돼서 정정함수는 아니지만 \(|x| \lt \frac{\pi}{2}\) 에서 로컬 정정함수에는 해당된다. \(V(x_1, x_2 )=(x_1-x_2 )^2\) 의 경우에는 \(x_1=x_2\) 인 선을 따라서 함수값이 \(0\) 이 되기 때문에 정정함수뿐 만 아니라 로컬 정정함수에도 해당되지 않는다.

 

 

리야프노프 안정성 정리는 다음과 같다.

어떤 시불변 동적 시스템 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 에 대해서, 만약 다음 식을 만족하는 로컬 정정함수 \(V(\mathbf{x})\) 와 \(r \gt 0\) 이 존재한다면 이 시스템의 평형상태 \(0\) 은 안정하다.

 

\[ \dot{V}(\mathbf{x}) \le 0 , \ \ \lVert \mathbf{x} \rVert \lt r \]

 

그리고 그 때의 로컬 정정함수 \(V(\mathbf{x})\) 를 리야프노프 함수(Lyapunov function)라고 한다.

만약 다음 식을 만족한다면 시스템의 평형상태 \(0\) 은 로컬(local)에서 점근적으로 안정(locally asymptotically stable)하다.

 

\[ \dot{V}(\mathbf{x}) \lt 0 , \ \ \mathbf{x} \ne 0 \ \mbox{ and } \ \lVert \mathbf{x} \rVert \lt r \]

 

위 식에서 \(\dot{V} (\mathbf{x})\) 는 시스템의 궤적 \(\mathbf{x}(t)\) 를 따라가며 함수 \(V(\mathbf{x}(t))\) 를 시간 미분한 것으로서 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{V} (\mathbf{x}(t)) &= \frac{dV(\mathbf{x}(t))}{dt} \\ \\ &= \left( \nabla_{\mathbf{x}} V(\mathbf{x}) \right)^T \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \left( \nabla_{\mathbf{x}} V(\mathbf{x}) \right)^T \mathbf{f}(\mathbf{x}) \end{align} \]

 

여기서 \(\nabla_{\mathbf{x}} V(\mathbf{x})\) 는 함수 \(V(\mathbf{x})\) 의 그래디언트이다.

 

 

예를 들어서 다음과 같은 시스템이 있을 때,

 

\[ \begin{align} & \dot{x}_1=x_1 (x_1^2+x_2^2-2)-4x_1 x_2^2 \tag{1} \\ \\ & \dot{x}_2=4x_1^2 x_2+x_2 (x_1^2+x_2^2-2) \end{align} \]

 

이 시스템의 평형상태는 \((x_1, x_2 )=(0, 0)\) 이다. 이 평형상태의 안정성을 알아보기 위해서 다음과 같은 정정함수를 고려해 보자.

 

\[ V(x_1,x_2 )=x_1^2+x_2^2 \]

 

이 함수가 리야프노프 함수가 될 수 있는지 알아보려는 것이므로 보통 이 단계에서는 정정함수를 리야프노프 함수 후보(Lyapunov function candidate)라고 부른다. 함수를 시간 미분하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \dot{V}(x_1,x_2 ) &= 2x_1 x ̇_1+2x_2 x ̇_2 \\ \\ &=2(x_1^2+x_2^2)(x_1^2+x_2^2-2) \end{align} \]

 

위 미분은 \(x_1^2+x_2^2 \lt 2\) 또는 \(\lVert \mathbf{x} \rVert ^2 \lt 2\) 에서 \(\dot{V} \lt 0\) 이 되므로 시스템 (1)의 평형상태는 \(\lVert \mathbf{x} \rVert \lt \sqrt{2}\) 에서 점근적으로 안정하다고 말할 수 있다.

전역(global) 안정성 정리는 다음과 같다.

어떤 시불변 동적 시스템 \(\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})\) 에 대해서, 만약 다음 식을 만족하는 정정함수 \(V(\mathbf{x}) \) 가 존재한다면 이 시스템의 평형상태 \(0\) 은 전역에서 안정하다.

 

\[ \dot{V}(\mathbf{x}) \le 0 \]

 

그리고 그 때의 정정함수 \(V(\mathbf{x})\) 를 리야프노프 함수라고 한다.

만약 다음 식을 만족한다면 시스템의 평형상태 \(0\) 은 전역에서 점근적으로 안정(globally asymptotically stable)하다.

 

\[ \dot{V} (\mathbf{x}) \lt 0, \ \ \mathbf{x} \ne 0 \]

 

로컬 정정함수와 다르게 정정함수는 radially unboundness 조건이 추가되었음에 주의해야 한다.

예를 들어서 다음과 같은 시스템이 있을 때,

 

\[ \dot{x}= -x^3 \tag{2} \]

 

이 시스템의 평형상태는 \(x=0\) 이다. 이 평형상태의 안정성을 알아보기 위해서 다음과 같은 정정함수를 고려해 보자.

 

\[ V(x)=x^2 \]

 

이 함수를 시간 미분하면 다음과 같다.

 

\[ \dot{V}(x)=2xx ̇=-2x^4 \lt 0, \ \ x \ne 0 \]

 

따라서 시스템 (2)의 평형상태는 전역에서 점근적으로 안정하다는 것을 알 수 있다.

참고로 간접방법으로 시스템 (2)의 안정성을 알아보기 위해서 평형상태 \(0\) 에서 선형화해 보자. 그러면

 

\[ \delta \dot{x} = \frac{df(0)}{dx} = -3(0)=0 \]

 

이 되어서 간접방법으로는 시스템의 안정성을 판별할 수 없다.

리야프노프 정리는 충분조건이기 때문에 리야프노프 함수를 구하지 못했다고 하여 시스템이 불안정하다고 할 수는 없다. 즉 정정함수가 리야프노프 정리의 조건을 만족하지 못했다면 이 함수는 리야프노프 함수가 아니라는 거 외에는 아무런 결론도 내릴 수 없다. 이 때는 다른 리야프노프 함수 후보(정정함수)를 구해서 다시 시도해 보는 방법 밖에 없다.