해밀톤 방정식 (Hamilton’s Equation)

라그랑지 방정식(Lagrange's equation)은 \(n\) 개의 2차 미분 방정식으로 구성되어 있다. 이 방정식을 \(2n\) 개의 1차 미분 방정식으로 재 구성한 것이 해밀톤 방정식(Hamilton's equation)이다.

 

 

먼저 일반화된 운동량(generalized momentum)을 다음과 같이 정의한다.

 

\[ p_i= \frac{\partial L}{\partial \dot{q_i}}, \ \ \ \ \ i=1, 2, ... , n \tag{1} \]

 

이어서 해밀토니안 함수(Hamiltonian function)를 다음과 같이 정의하고,

 

\[ H= \sum_{i=1}^n p_i \dot{q}_i-L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) \tag{2} \]

 

일반화된 속도 \(\dot{q}_i\) 대신에 일반화된 운동량 \(p_i\) 로 치환하면 해밀토니안은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} H &= H(q_1, q_2, ... , q_n, p_1, p_2, ... , p_n, t) \tag{3} \\ \\ &=H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) \end{align} \]

 

여기서 \(\mathbf{q}=[q_1 \ q_2 \ ... \ q_n ]^T\) 와 \(\mathbf{p}=[p_1 \ p_2 \ ... \ p_n ]^T\) 는 각각 \(n\) 차원 벡터이다.

식 (3)으로 주어지는 해밀토니안의 변분(variation)을 구하면 다음과 같다.

 

\[ \delta H= \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial H}{\partial p_i} \delta p_i \right) \tag{4} \]

 

한편 식 (2)로 주어지는 해밀토니안의 변분을 구하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \delta H &= \sum_{i=1}^n \left( p_i \delta \dot{q}_i + \dot{q}_i \delta p_i- \frac{\partial L}{\partial q_i } \delta q_i -\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i } \delta \dot{q}_i \right) \tag{5} \\ \\ &= \sum_{i=1}^n \left( \dot{q}_i \delta p_i- \frac{\partial L}{\partial q_i } \delta q_i \right) \end{align} \]

 

여기서 식 (1)이 사용되었다.

이제 식(4)와 (5)를 비교하면 다음 식을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \dot{q}_i= \frac{\partial H}{\partial p_i }\tag{6} \\ \\ & \frac{\partial L}{\partial q_i } = - \frac{\partial H}{\partial q_i }, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \end{align} \]

 

만약 홀로노믹 보존(holonomic conservative) 시스템이라면 라그랑지 방정식에 의해서,

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i}=0, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \tag{7} \]

 

이므로 식 (6)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} & \dot{q}_i= \frac{\partial H}{\partial p_i }\tag{8} \\ \\ & \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i }, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \end{align} \]

 

위 식은 \(2n\) 개의 1차 미분 방정식으로서 해밀톤 표준 방정식(Hamilton canonical equation)이라고 한다.

식 (8)의 두 식을 보면 \(q_i\) 와 \(p_i\) 가 서로 대칭성을 보이는 것을 알 수 있다. 따라서 \(q_i\) 와 \(p_i\) 를 동일하게 '상태'로 간주하고 둘을 \(2n\) 차원 위상벡터(phase vector)로 본다. 그러면 시스템의 운동을 \(2n\) 차원 위상공간(phase space)에서의 경로로 나타낼 수 있다.

 

 

 

 

만약 홀로노믹 비보존 시스템이라면 라그랑지 방정식에 의해서,

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \tag{9} \]

 

이므로 식 (6)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} & \dot{q}_i= \frac{\partial H}{\partial p_i }\tag{10} \\ \\ & \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i } + Q_i, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \end{align} \]

 

위 식은 홀로노믹 비보존 시스템에 적용되는 해밀톤 방정식이다.

만약 시스템이 \(m\) 개의 비홀로노믹 제약조건을 갖는다면,

 

\[ \sum_{i=1}^n a_{li} dq_i + a_{l0} dt =0, \ \ \ \ \ l=1, 2, ... , m \tag{11} \]

 

라그랑지 방정식은 다음과 같으므로

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i}=Q_i + \sum_{l=1}^{m} \lambda_l a_{li}, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \tag{12} \]

 

식 (6)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} & \dot{q}_i= \frac{\partial H}{\partial p_i }\tag{13} \\ \\ & \dot{p}_i = - \frac{\partial H}{\partial q_i } + Q_i + \sum_{l=1}^{m} \lambda_l a_{li}, \ \ \ \ \ i=1, ... ,n \end{align} \]

 

위 식은 비홀로노믹 시스템에 적용되는 해밀톤 방정식이다.

 

 

한편 식 (3)을 시간 미분하면 다음과 같다.

 

\[ \frac{dH}{dt} = \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial H}{\partial q_i } \dot{q}_i+ \frac{\partial H}{\partial p_i } \dot{p}_i \right) + \frac{\partial H}{\partial t} \tag{14} \]

 

시스템이 홀로노믹 보존 시스템이라면 식 (8)에 의해서 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial t} \tag{15} \]

 

따라서 해밀토니안 함수가 명시적인 시간 함수가 아니라면,

 

\[ \frac{dH}{dt} = 0 \tag{16} \]

 

가 된다. 정리하면 홀로노믹 보존 시스템에서 해밀토니안 함수가 명시적인 시간함수가 아니라면 해밀토니안은 보존된다.

덧붙여 만약 홀로노믹 구속조건이 시간의 함수가 아니라면 운동 에너지가 다음과 같이 일반화 속도의 2차 함수로 표현되므로

 

\[ T= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \left( \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i } \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j } \dot{q}_i \dot{q}_j \right) \tag{17} \]

 

해밀토니안의 정의인 식 (2)에 의하면

 

\[ \begin{align} H &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i } \dot{q}_i - L \tag{18} \\ \\ &=2T-(T-V) \\ \\ &=T+V \end{align} \]

 

홀로노믹 보존 시스템에서 해밀토니안은 기계적인 에너지와 같으므로 해밀토니안 함수가 명시적인 시간함수가 아니라면 기계적인 에너지가 보존된다는 것을 알 수 있다.