라그랑지 방정식 (Lagrange’s Equation)

라그랑지 방정식(Lagrange's equation)과 해밀톤 방정식(Hamilton's equation)은 해석 동역학(analytical dynamics)의 근간을 이룬다. 라그랑지 방정식은 해밀톤의 원리(Hamilton's principle)를 일반화 좌표로 표현한 2차 미분 방정식이며, 해밀톤 방정식은 라그랑지 방정식으로부터 유도할 수 있는 1차 미분 방정식이다.

 

 

\(N\) 개의 질점으로 이루어진 홀로노믹(holonomic) 시스템이 있다고 하자. 그러면 \(N\) 개의 질점의 위치벡터를 일반화 좌표 \(q_i\) 를 이용하여 표현하면 다음과 같다.

 

\[ \mathbf{r}_k= \mathbf{r}_k (q_1, q_2, ... , q_n, t), \ \ \ \ \ k=1, 2, ... ,N \tag{1} \]

 

여기서 \(n\) 은 시스템의 자유도이다.

속도벡터는 식 (1)로부터 다음과 같이 유도할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{r}}_k &= \frac{d\mathbf{r}_k}{dt} = \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_1} \dot{q}_1 +\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_2} \dot{q}_2 + ... + \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_n} \dot{q}_n +\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t} \tag{2} \\ \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i} \dot{q}_i + \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t}, \ \ \ \ \ k=1, 2, ... , N \end{align} \]

 

여기서 \(\dot{q}_i\) 를 일반화 속도(generalized velocity)라고 한다.

식 (2)를 이용하면 시스템의 전체 운동 에너지를 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} T &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \dot{\mathbf{r}}_k \cdot \dot{\mathbf{r}}_k \tag{3} \\ \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^N m_k \left( \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i } \dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t} \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i } \dot{q}_i+\frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t} \right) \\ \\ &= \frac{1}{2} \sum_{k=1}^N \left( m_k \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_j} \dot{q}_i \dot{q}_j+ 2 \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t} \cdot \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial q_i } \dot{q}_i + \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t} \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_k}{\partial t} \right) \\ \\ &= T_2+T_1+T_0 \end{align} \]

 

식 (3)에 의하면 일반화 좌표를 사용하면 운동 에너지는 일반화 속도의 2차항(\(T_2\)), 1차항(\(T_1\)), 그리고 일반화 속도의 함수가 아닌 항(\(T_0\)) 등 3개 항으로 나누어지면서 복잡하게 나온다. 만약 홀로노믹 구속조건이 시간의 함수가 아니라면 운동 에너지에서 \(T_1\) 과 \(T_0\) 는 \(0\) 이 되므로 \(T=T_2\) 가 된다.

어쨌거나 운동 방정식은 다음과 같이 일반화 좌표와 속도의 함수라는 것을 알 수 있다.

 

\[ T=T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) \tag{4} \]

 

여기서 \(\mathbf{q}=[q_1 \ q_2 \ ... \ q_n ]^T\) 이다.

만약 모든 외력이 포텐셜 에너지 함수로부터 유도될 수 있다면 포텐셜 에너지 함수는 다음과 같이 일반화 좌표와 시간만의 함수가 된다.

 

\[ V=V(\mathbf{q}, t) \tag{5} \]

 

이 때 해밀톤의 원리는 다음과 같은 수식으로 표현된다.

 

\[ \delta \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t) \ dt =0 \tag{6} \]

 

여기서 라그랑지안(Lagrangian) \(L\) 은 다음과 같이 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이로 정의된다.

 

\[ L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)=T(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)-V(\mathbf{q}, t) \tag{7} \]

 

변분법에 의하면 위 식으로부터 다음과 같이 라그랑지 방정식을 얻을 수 있다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i }=0, \ \ \ \ \ i=1, ... , n \tag{8} \]

 

여기서 \(n\) 은 시스템의 자유도(DOF)와 같다. 변분법으로 위 식을 유도하는 방법은 다음 글을 참조하면 된다.

 

변분법과 오일러-라그랑지 방정식

 

식 (8)은 홀로노믹 보존(holonomic conservative) 시스템 또는 홀로노믹 시스템이면서 모든 외력이 포텐셜 에너지 함수로부터 유도될 수 있는 경우에 유효한 운동 방정식으로서 표준 라그랑지 방정식이라고 한다.

만약 홀로노믹 시스템이지만 \(n\) 이 자유도 보다 큰 경우는 비홀로노믹 시스템에 대한 라그랑지 방정식을 이용해야 한다.

 

 

홀로노믹이지만 비보존 시스템인 경우에는 확장된 해밀톤의 원리(extended Hamilton's principle)로부터 라그랑지 방정식을 유도할 수 있다.

 

\[ \int_{t_1}^{t_2} (\delta T + \delta W ) \ dt =0 \tag{9} \]

 

위 식에서 운동 에너지는 표준 라그랑지 방정식을 유도할 때와 같은 방법을 사용하면 되므로 가상일 부분만 수정하면 된다.

시스템에 \(p\) 개의 외력이 가해지고 있다고 가정한다면 이 힘에 의한 가상일(virtual work)은 다음과 같이 된다.

 

\[ \delta W = \sum_{j=1}^p \mathbf{F}_j \cdot \delta \mathbf{r}_j \tag{10} \]

 

가상 변위 \(\delta \mathbf{r}_j\) 를 일반화 좌표로 바꾸면,

 

\[ \delta \mathbf{r}_j = \sum_{i=1}^n \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i } \delta q_i \tag{11} \]

 

이므로, 식 (11)을 (10)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

\[ \delta W = \sum_{i=1}^n \left( \sum_{j=1}^p \mathbf{F}_j \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i } \right) \delta q_i \tag{12} \]

 

여기서 일반화 힘(generalized force)을 다음과 같이 정의하면,

 

\[ Q_i = \sum_{j=1}^p \mathbf{F}_j \cdot \frac{\partial \mathbf{r}_j}{\partial q_i}, \ \ \ \ \ i=1, ... , n \tag{13} \]

 

가상일은 다음과 같이 된다.

 

\[ \delta W = \sum_{i=1}^n Q_i \ \delta q_i \tag{14} \]

 

식 (14)를 식 (9)에 대입하면,

 

\[ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} (\delta T + \delta W ) \ dt &= \int_{t_1}^{t_2} \delta T \ dt + \int_{t_1}^{t_2} \delta W \ dt \tag{15} \\ \\ &= - \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^n \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial T}{\partial q_i }-Q_i \right] \ \delta q_i \ dt \\ \\ &=0 \end{align} \]

 

이 되는데, \(\delta q_i\) 가 서로 독립이므로 다음 식이 성립한다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial T}{\partial q_i } = Q_i, \ \ \ \ \ i=1, ... , n \tag{16} \]

 

위 식은 홀로노믹 비보존 시스템에 유효한 라그랑지 방정식이다. 여기서 \(n\) 은 시스템의 자유도(DOF)와 같다. 만약 \(n\) 이 자유도 보다 큰 경우는 비홀로노믹 시스템에 대한 라그랑지 방정식을 이용해야 한다.

일부 힘은 포텐셜 에너지 함수로부터 유도되고 일부 힘은 그렇지 않을 때는 식 (15)를 다음과 같이 수정하면 된다.

 

\[ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} (\delta T + \delta W ) \ dt &= \int_{t_1}^{t_2} \delta T \ dt + \int_{t_1}^{t_2} \left( -\delta V + \sum_{i=1}^{n} Q_i \ \delta q_i \right) \ dt \tag{17} \\ \\ &= \int_{t_1}^{t_2} \delta L \ dt + \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^{n} Q_i \ \delta q_i \ dt \\ \\ &= - \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^n \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i }-Q_i \right] \ \delta q_i \ dt \\ \\ &=0 \end{align} \]

 

여기서 \(\delta q_i\) 가 서로 독립이므로 다음 식을 얻을 수 있다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i } = Q_i, \ \ \ \ \ i=1, ... , n \tag{18} \]

 

만약 시스템이 \(m\) 개의 비홀로노믹(nonholonomic) 제약조건을 갖는다면,

 

\[ \sum_{i=1}^n a_{li} dq_i + a_{l0} dt = 0, \ \ \ \ \ l=1, 2, ... , m \tag{19} \]

 

식 (17)에서 \(\delta q_i\) 는 서로 독립이 아니며 다음 관계식을 만족해야 한다.

 

\[ \sum_{i=1}^n a_{li} \delta q_i = 0, \ \ \ \ \ l=1, 2, ... , m \tag{20} \]

 

이 때문에 \(\delta q_i\) 의 계수항을 \(0\) 으로 둘 수 없다. 이 경우에는 라그랑지 곱수(Lagrange multiplier) \(\lambda_l, \ \ l=1,...,m\) 을 도입하고 식 (20)을 식 (17)에 대입하여 독립이지 않은 \(\delta q_i\) 를 독립인 것처럼 만들 수 있다.

 

\[ \begin{align} \int_{t_1}^{t_2} (\delta T + \delta W ) \ dt &= - \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i=1}^n \left[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i }-Q_i - \sum_{l=1}^m \lambda_l a_{li} \right] \ \delta q_i \ dt \tag{21} \\ \\ &=0 \end{align} \]

 

그러면 라그랑지 방정식을 다음과 같이 수정할 수 있다.

 

\[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) -\frac{\partial L}{\partial q_i } = Q_i + \sum_{l=1}^m \lambda_l a_{li}, \ \ \ \ \ i=1, ... , n \tag{22} \]

 

위 식은 비홀로노믹 시스템에 적용할 수 있는 일반적인 라그랑지 방정식이다.

 

 

라그랑지 방정식은 식 (8), (18), (22)에서 보듯이 2차 미분 방정식으로서 일반화 좌표와 속도의 함수다.