포텐셜 필드 방법

포텐셜 필드(potential field)의 아이디어는 목표점으로 이끄는(attractive) 인공적인 포텐셜 필드와 장애물로부터 멀어지게 내보내는(repulsive) 인공적인 포텐셜 필드를 형상공간에 구축하여, 로봇이나 비행체가 장애물을 피하면서 목표점에 다가갈 수 있는 운행 방향을 찾아보자는 것이다.

 

 

인력(attractive) 포텐셜은 로봇이나 비행체를 목표점으로 끄는 목적을 지니고 있으며 보통 파라볼릭(parabolic) 형태와 원추(conical) 형태, 그리고 이 둘을 결합한 형태를 사용하고 있다. 파라볼릭 형태의 포텐셜 필드는 다음 식으로 주어진다.

 

$$U_{att1}(\mathbf{q})=\frac{1}{2}{k}_a{|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|}^2$$

 

여기서 $k_a>0$은 스케일 파라미터이다. 포텐셜의 경사하강(gradient descent)이 힘(force)이 되므로 인력 포텐셜에 의한 인력(attractive force)는 다음과 같이 목표점까지의 거리의 차이에 비례값으로 주어진다.

 

$${\mathbf{f}}_{att1}(\mathbf{q})=-\mathrm{\nabla }{U}_{att1}(\mathbf{q})=k_a({\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q})$$

 

원추 형태의 포텐셜 필드는 다음 식으로 주어진다.

 

$$U_{att2}(\mathbf{q})=k_b|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|$$

 

원추 형태의 인력 포텐셜에 의한 힘은 다음과 같이 목표점까지의 거리에 상관없이 일정한 크기(constant)로 주어진다.

 

$${\mathbf{f}}_{att2}(\mathbf{q})=-\mathrm{\nabla }{U}_{att2}(\mathbf{q})=k_a\frac{({\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q})}{|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|}$$

 

목표점과 가까운 거리에서는 ${\mathbf{f}}_{att1}(\mathbf{q})$이 ${\mathbf{f}}_{att2}(\mathbf{q})$보다 작은 크기이기 때문에 오버슈팅(overshooting) 가능성 면에서 바람직하지만 멀리 떨어진 거리에서는 크기가 매우 커지는 단점이 있다. 따라서 먼 거리에서는 원추 형태, 가까운 거리에서는 파라볼릭 형태의 포텐셜 필드를 갖는 결합형을 사용하기도 한다.

 

$$U_{att}(\mathbf{q})=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{k}_a{|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|}^2,& \text{if }|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|\le \rho \\ k_b|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|,& \text{if }|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|>\rho \end{array}$$

 

여기서 $|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|=\rho$ 에서 인력 ${\mathbf{f}}_{att}(\mathbf{q})$의 연속성을 위하여 $k_b=\rho k_a$의 조건이 필요하다.

 

 

이 때 인력(attractive force)은 다음과 같다.

 

$${\mathbf{f}}_{att}(\mathbf{q})=-\mathrm{\nabla }{U}_{att}(\mathbf{q})=\{\begin{array}{ll}{k}_a({\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}),& \text{if }|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|\le \rho \\ k_b\frac{({\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q})}{|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|},& \text{if }|{\mathbf{q}}_{goal}-\mathbf{q}|>\rho \end{array}$$

 

 

 

척력(repulsive) 포텐셜은 로봇이나 비행체를 장애물로부터 떨어지게 밀치는 목적을 지니고 있기 때문에, 장애물 $i$ 에 대해서 다음과 같은 포텐셜 필드를 갖는다.

 

$$U_{rep,i}(\mathbf{q})=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}{k}_{r,i}{(\frac{1}{d_{min,i}(\mathbf{q})}-\frac{1}{d_{obs,i}^{\star }})}^2,& \text{if }{d}_{min,i}\le d_{obs,i}^{\star }\\ 0,& \text{if }{d}_{min,i}>d_{obs,i}^{\star }\end{array}$$

 

여기서 $k_{r,i}>0$이고, $d_{min,i}=|{\mathbf{q}}_{obs,i}-\mathbf{q}|$는 장애물 $i$ 까지의 최단 거리이고 $d_{obs,i}^{\star }$는 미리 설정된 값으로, 만약 로봇이나 비행체가 장애물로부터 일정 거리 $d_{obs,i}^{\star }$이상 떨어져 있으면 장애물에 의한 척력 포텐셜은 무시한다.

척력 포텐셜에 의한 척력(repulsive force)은 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{f}}_{rep,i}(\mathbf{q})& =-\mathrm{\nabla }{U}_{rep,i}(\mathbf{q})\\ \\ & =\{\begin{array}{ll}\frac{k_{r,i}}{d_{min,i}^2(\mathbf{q})}(\frac{1}{d_{min,i}(\mathbf{q})}-\frac{1}{d_{obs,i}^{\star }})\mathrm{\nabla }{d}_{min,i}(\mathbf{q}),& \text{if }{d}_{min,i}\le d_{obs,i}^{\star }\\ 0,& \text{if }{d}_{min,i}>d_{obs,i}^{\star }\end{array}\end{array}$$

 

모든 장애물에 의한 척력 포텐셜과 척력은 각 장애물의 척력 포텐셜과 척력의 합으로 주어진다.

 

$$\begin{array}{rl}& U_{rep}(\mathbf{q})=\sum _{i=1}^p{U}_{rep,i}(\mathbf{q})\\ \\ & {\mathbf{f}}_{rep}(\mathbf{q})=\sum _{i=1}^p{\mathbf{f}}_{rep,i}(\mathbf{q})\end{array}$$

 

 

 

총(total) 포텐셜 필드와 총 힘은 각각 인력 포텐셜과 척력 포텐셜의 합과 인력과 척력의 합으로 주어진다.

 

$$\begin{array}{rl}& U_{tot}(\mathbf{q})=U_{att}(\mathbf{q})+U_{rep}(\mathbf{q})\\ \\ & {\mathbf{f}}_{tot}(\mathbf{q})={\mathbf{f}}_{att}(\mathbf{q})+{\mathbf{f}}_{rep}(\mathbf{q})\end{array}$$

 

 

 

경로계획에 포텐셜 필드를 이용할 때는 힘 ${\mathbf{f}}_{tot}(\mathbf{q})$를 로봇이나 비행체에 작용하는 물리적인 힘으로 해석할 수도 있고, 가속도, 또는 속도로 해석하여 적용할 수도 있다.

${\mathbf{f}}_{tot}(\mathbf{q})$를 힘으로 해석하면 경로가 부드럽게 나오는 반면 속도로 해석하면 경로가 날카롭게 나오는 경향이 있다.

하지만 ${\mathbf{f}}_{tot}(\mathbf{q})$를 힘으로 해석하면 로봇이나 비행체의 동역학 식이 필요하기 때문에, ${\mathbf{f}}_{tot}(\mathbf{q})$를 속도로 해석하는 방법이 많이 쓰인다.

포텐셜 필드의 장점은 임무 환경 전체에 대한 정보가 필요 없고, 로봇이나 비행체의 센서 정보로만으로도 구현 가능하여 온라인(online) 경로계획에 적합하다는 것이다. 단점은 로컬 최소점(local minimum)으로 빠질 수 있다는 것이다. 로컬 최소점 문제를 해결하기 위해 항법식(navigation equation), 하모닉 포텐셜(harmonic potential)식을 이용하는 방법 등이 개발되어 있다.