행렬의 덧셈과 곱셈

사이즈가 같은 두 개의 행렬 A와 B의 덧셈은 다음과 같이 각 행렬의 구성 성분 간의 덧셈으로 정의한다. 즉 $A=[a_{ij}]$이고 $B=[b_{ij}]$일 때, 두 행렬의 덧셈은 $A+B=[a_{ij}+b_{ij}]$이다.

 

 

예를 들면,

 

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 5& -2& 7\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{ccc}1& -1& 0\\ 2& 4& 3\end{array}\right]$$

 

일 때, 두 행렬의 덧셈은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}C=A+B& =\left[\begin{array}{ccc}2+1& 3-1& 1+0\\ 5+2& -2+4& 7+3\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 7& 2& 10\end{array}\right]\end{array}$$

 

덧셈의 정의에 의하면 사이즈가 다른 두 행렬의 덧셈은 불가능하다.

사이즈가 $m\times n$ 인 행렬 $A=[a_{ij}]$와 스칼라 값 $k$의 곱셈 $kA$는 행렬 $A$의 모든 성분 값과 $k$의 곱셈인 $kA=[k{a}_{ij}]$로 정의한다. 예를 들면

 

$$A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 5& -2& 7\end{array}\right],k=2$$

 

일 때, $kA$는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}kA=2A& =\left[\begin{array}{ccc}2(2)& 2(3)& 2(1)\\ 2(5)& 2(-2)& 2(7)\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}4& 6& 2\\ 10& -4& 14\end{array}\right]\end{array}$$

 

$(-1)A$는 간단히 $-A$로 표기한다. 그러면 두 행렬의 뺄셈은 따로 정의하지 않아도 자연스럽게 $A+(-1)B=A-B$의 형태로 표기할 수 있다. $k=0$이라면 $0A=0$이 되어 모든 성분이 $0$인 $m\times n$ 행렬이 된다. 이를 $0$ 행렬이라고 한다.

사이즈가 같은 두 행렬의 덧셈의 정의와 스칼라와 행렬의 곱셈의 정의는 매우 자연스럽게 보인다. 이번에는 두 행렬의 행렬 곱셈을 정의한다.

사이즈가 $m\times n$ 인 행렬 $A=[a_{ij}]$와 사이즈가 $n\times p$ 인 행렬 $B=[b_{ij}]$의 행렬 곱셈 $C=AB$는 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& C=[c_{ik}]=[a_{i1}{b}_{1k}+a_{i2}{b}_{2k}+\cdots +a_{in}{b}_{nk}]\end{array}$$

 

행렬 곱셈에서 주의할 점은 두 행렬의 곱셈이 가능하려면 행렬 $A$의 열과 행렬 $B$의 행의 개수가 똑같아야 한다는 것이다. 그러면 곱셈의 결과로 나온 행렬 $C$의 사이즈는 행렬 $A$의 행의 개수와 행렬 $B$의 열의 개수인 $m\times p$ 가 된다.

 

 

행렬 곱셈의 정의가 덧셈과는 다르게 이상하고 복잡하게 보인다. 그렇더라도 우선 정의대로 곱셈 계산을 할 수 있는 것이 중요하다.

행렬 곱셈의 예로서 아래 그림에 나와 있듯이 행렬 C의 3행2열 값을 계산하기 위해서는 정의에 의해서 다음과 같이 행렬 A의 3행과 행렬 B의 2열의 성분을 모두 곱해서 더해야 한다.

 

 

$$\begin{array}{rl}{c}_{32}& =a_{31}{b}_{12}+a_{32}{b}_{22}+a_{33}{b}_{32}+a_{34}{b}_{42}\\ \\ & =0(1)+7(1)-2(1)+2(-2)\\ \\ & =1\end{array}$$

 

행렬에 관련된 많은 정의와 개념들은 주로 선형 연립 방정식을 푸는 과정에서 도출되었다. 행렬 곱셈의 정의도 마찬가지다.

예를 들어서 다음과 같은 연립 방정식이 있을 때,

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \begin{array}{rl}& 2x_1+3x_2+x_3=9\\ \\ & 5x_1-2x_2+7x_3=-3\end{array}\end{array}$$

 

관련 행렬을 다음과 같이 설정하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A=\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 5& -2& 7\end{array}\right],\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right],\mathbf{b}=\left[\begin{array}{c}9\\ -3\end{array}\right]\end{array}$$

 

연립 방정식 (2)는 다음과 같이 행렬 곱셈으로 간단하게 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& A\mathbf{x}=\mathbf{b}\end{array}$$

 

만약 식 (2)의 $x_1,x_2,x_3$도 다음과 같이 $y_1,y_2$에 관한 연립 방정식으로 주어졌다면,

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \begin{array}{rl}& x_1=y_1+y_2\\ \\ & x_2=y_1-y_2\\ \\ & x_3=2y_2\end{array}\end{array}$$

 

식 (2)와 마찬가지로 식 (5)도 관련 행렬을 다음과 같이 설정하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& B=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& -1\\ 0& 2\end{array}\right],\mathbf{y}=\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right]\end{array}$$

 

다음과 같이 행렬 곱셈으로 간단하게 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbf{x}=B\mathbf{y}\end{array}$$

 

식 (2)의 $x_1,x_2,x_3$에 관한 연립 방정식에 식 (5)를 대입하면 다음과 같이 $y_1,y_2$에 관한 연립 방정식으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \begin{array}{rl}& 2(y_1+y_2)+3(y_1-y_2)+2y_2=5y_1+y_2=9\\ \\ & 5(y_1+y_2)-2(y_1-y_2)+7(2y_2)=3y_1+21y_2=-3\end{array}\end{array}$$

 

한편, 식 (4)와 (7)을 이용하면 식 (8)을 쉽게 계산해 낼 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& A\mathbf{x}=AB\mathbf{y}=C\mathbf{y}=\mathbf{b}\end{array}$$

 

여기서 행렬 $C$는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& \begin{array}{rl}C=AB& =\left[\begin{array}{ccc}2& 3& 1\\ 5& -2& 7\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\\ 0& 2\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{cc}5& 1\\ 3& 21\end{array}\right]\end{array}\end{array}$$

 

언뜻 보기에 부자연스러웠지만 행렬 곱셈을 식 (1)로 정의했기 때문에 가능한 일이다.