비선형 시스템과 매니폴드 (Manifold)

시스템이 선형 시불변이면 시스템의 고유값(eigenvalue)을 이용하여 쉽게 안정성을 판별할 수 있었다. 시스템이 비선형일 경우에도 평형상태에 대해서 선형화를 한 후에 평형상태 근방에서 로컬 안정성을 판별할 수 있을 것이다.

 

 

다음과 같은 비선형 시스템이 있다고 하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}=\mathbf{f}(\mathbf{x})\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수이다. 또한 ${\mathbf{x}}_e$ 를 시스템 (1)의 평형점(equilibrium point)이라고 하자.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{f}({\mathbf{x}}_e)=0\end{array}$$

 

이제 새로운 변수를 $\mathbf{y}=\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_e$ 로 정의한다면 시스템 (1)은

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \dot{\mathbf{y}}=\mathbf{f}(\mathbf{y}+{\mathbf{x}}_e)\end{array}$$

 

로 쓸 수 있고 이 때 평형상태 ${\mathbf{x}}_e$ 는 ${\mathbf{y}}_e=0$ 로 바뀐다. 식 (3)을 테일러 시리즈로 전개하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& \dot{\mathbf{y}}& =\mathbf{f}({\mathbf{x}}_e)+{\left(\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}\right)}_{{\mathbf{x}}_e}\mathbf{y}+\mathcal{O}(|\mathbf{y}{|}^2)\\ & =J({\mathbf{x}}_e)\mathbf{y}+\mathcal{O}(|\mathbf{y}{|}^2)\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 $\mathcal{O}(|\mathbf{y}{|}^2)$ 는 $\mathbf{y}$ 의 2차 이상의 고차항을 의미하며 자코비안 $J({\mathbf{x}}_e)$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& J({\mathbf{x}}_e)={\left(\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}\right)}_{{\mathbf{x}}_e}\end{array}$$

 

선형 시스템에서 했던 바와 같이 $J({\mathbf{x}}_e)$ 의 고유값에 따라 $n$ 차원 벡터공간 ${\mathbb{R}}^n$ 을 다음과 같이 안정 부분공간(stable subspace) ${\mathbb{E}}^s$, 불안정(unstable) 부분공간 ${\mathbb{E}}^u$ 및 센터(center) 부분공간 ${\mathbb{E}}^c$ 로 분할할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& & {\mathbb{E}}^s:Re(\lambda (J))<0\\ & {\mathbb{E}}^u:Re(\lambda (J))>0\\ \\ & {\mathbb{E}}^c:Re(\lambda (J))=0,s+u+c=n\end{array}$$

 

각 부분공간의 고유벡터를 열로 하는 변환행렬 $T$ 를 다음과 같이 정의하고

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& T=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_1^c...& {\mathbf{v}}_{c+1}^s...& {\mathbf{v}}_{c+s+1}^u...\end{array}\right]\end{array}$$

 

변환행렬을 이용하여 변수 $\mathbf{y}$ 를 다음과 같이 세개의 변수로 변환한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& T\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]=\mathbf{y}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^c$, $\mathbf{v}(t)\in {\mathbb{R}}^s$, $\mathbf{w}(t)\in {\mathbb{R}}^u$ 이다. 그러면 식 (4)는 다음과 같이 블록 대각행렬과 잔여 비선형 항을 갖는 시스템으로 변환된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& \left[\begin{array}{c}\dot{\mathbf{u}}\\ \dot{\mathbf{v}}\\ \dot{\mathbf{w}}\end{array}\right]& =T^{-1}\dot{\mathbf{y}}\\ & =T^{-1}J({\mathbf{x}}_e)T\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]+T^{-1}\mathcal{O}(|\mathbf{y}{|}^2)\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccc}{A}_c& 0& 0\\ 0& A_s& 0\\ 0& 0& A_u\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathbf{u}\\ \mathbf{v}\\ \mathbf{w}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{\mathbf{g}}_c(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})\\ {\mathbf{g}}_s(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})\\ {\mathbf{g}}_u(\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w})\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 $A_s\in {\mathbb{R}}^{s\times s}$ 는 실수부가 음수인 고유값을 갖는 행렬, $A_u\in {\mathbb{R}}^{u\times u}$ 는 실수부가 양수인 고유값을 갖는 행렬, $A_c\in {\mathbb{R}}^{c\times c}$ 는 실수부가 $0$ 인 고유값을 갖는 행렬이다. ${\mathbf{g}}_c$, ${\mathbf{g}}_s$, ${\mathbf{g}}_u$ 는 각각 벡터 $T\mathcal{O}(|\mathbf{y}{|}^2)$ 의 $c,s,u$ 개의 성분들로 구성된 벡터이다.

만약 ${\mathbf{g}}_c$, ${\mathbf{g}}_s$, ${\mathbf{g}}_u$ 가 모두 $0$ 이라면 시스템 (4)또는 (9)는 선형 시스템이 되기 때문에 $c$ 차원의 센터 부분공간, $s$ 차원의 안정한 부분공간, $u$ 차원의 불안정한 부분공간을 가지며 모두 평형점인 $0$ 에서 교차한다. 하지만 비선형인 경우에는 부분공간의 구조에 변형이 생기는데, 센터 매니폴드 정리(center manifold theorem)에 의하면 다음 내용이 성립한다.

 

 

먼저 평형점 근방에서 안정(stable), 불안정(unstable) 및 센터(center) 매니폴드 $({\mathbb{W}}^s({\mathbf{x}}_e),{\mathbb{W}}^u({\mathbf{x}}_e),{\mathbb{W}}^c({\mathbf{x}}_e))$ 가 존재하고 이러한 매니폴드는 평형점 ${\mathbf{x}}_e$ 또는 $\mathbf{y}=0$ 에서 각각의 부분공간인 $({\mathbb{E}}^s,{\mathbb{E}}^u,{\mathbb{E}}^c)$ 에 접(tangent)한다. 그리고 안정한 매니폴드 ${\mathbb{W}}^s$ 에 있는 궤적은 $t\to +\mathrm{\infty }$ 일 때 지수적으로 평형점에 수렴하고, 불안정한 매니폴드 ${\mathbb{W}}^u$ 에 있는 궤적은 $t\to -\mathrm{\infty }$ 일 때 지수적으로 평형점에 수렴한다. 센터 매니폴드 ${\mathbb{W}}^c$ 상의 궤적은 비선형 항에 따라서 평형점으로 수렴하거나 발산한다.

 

 

${\mathbb{W}}^u=\mathrm{\varnothing }$ 이라고 가정하면 모든 궤적이 ${\mathbb{W}}^c({\mathbf{x}}_e)$ 로 빠르게 수렴한다. 따라서 평형점에 대한 시스템의 로컬 안정성은 ${\mathbb{W}}^c$ 상의 궤적만 조사하면 된다. 이 경우 식 (9)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& & \dot{\mathbf{u}}=A_c\mathbf{u}+{\mathbf{g}}_c(\mathbf{u},\mathbf{v})\\ & \dot{\mathbf{v}}=A_s\mathbf{v}+{\mathbf{g}}_s(\mathbf{u},\mathbf{v})\end{array}$$

 

여기서 $(\mathbf{u},\mathbf{v})=(0,0)$ 이 평형점이므로 ${\mathbf{g}}_c(0,0)=0$, ${\mathbf{g}}_s(0,0)=0$ 이고, 또한 매니폴드 ${\mathbb{W}}^c(0,0)$, ${\mathbb{W}}^s(0,0)$ 는 각각 평형점에서 부분공간 ${\mathbb{E}}^c$, ${\mathbb{E}}^s$ 에 접하므로 $\frac{\partial {\mathbf{g}}_c(0,0)}{\partial \mathbf{u}}=0$, $\frac{\partial {\mathbf{g}}_s(0,0)}{\partial \mathbf{v}}=0$ 이다.

안정한 매니폴드가 다음과 같이 센터 매니폴드의 함수라고 가정하면

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \mathbf{v}=\mathbf{h}(\mathbf{u})\end{array}$$

 

위 식은 다음 식을 만족해야 한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(12)}& \dot{\mathbf{v}}& =\frac{d\mathbf{h}(\mathbf{u})}{d\mathbf{u}}\dot{\mathbf{u}}\\ & =\frac{d\mathbf{h}(\mathbf{u})}{d\mathbf{u}}(A_c\mathbf{u}+{\mathbf{g}}_c(\mathbf{u},\mathbf{h}(\mathbf{u})))\end{array}$$

 

식 (10)과 (12)를 비교하면 다음 조건식을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& & \frac{d\mathbf{h}(\mathbf{u})}{d\mathbf{u}}(A_c\mathbf{u}+{\mathbf{g}}_c(\mathbf{u},\mathbf{h}(\mathbf{u})))\\ & -A_s\mathbf{v}-{\mathbf{g}}_s(\mathbf{u},\mathbf{h}(\mathbf{u}))=0\end{array}$$

 

예를 들어서 다음과 같은 2D 시스템이 있다고 할 때,

 

$$\begin{array}{r}\text{(14)}& & \dot{x}=x^{2}y-x^5\\ & \dot{y}=-y+x^2\end{array}$$

 

이 시스템을 식 (10)과 비교하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& & A_c=0,A_s=-1,\\ & g_c(x,y)=x^{2}y-x^5,g_s(x,y)=x^2\end{array}$$

 

센터 매니폴드를 계산하기 위해서 함수 (11)을 다음과 같은 함수로 가정한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(16)}& y=h(x)=a{x}^2+b{x}^3+\mathcal{O}(x^4)\end{array}$$

 

식 (16)을 식 (13)에 대입하면,

 

$$\begin{array}{rl}& (2ax+3b{x}^2+\cdots )(a{x}^4+b{x}^5-x^5+\cdots )\\ \\ & +a{x}^2+b{x}^3-x^2+\cdots =0\end{array}$$

 

이 된다. 위 식에서 다항식의 계수를 비교하면,

 

$$\begin{array}{rl}& x^2:a-1=0\to a=1\\ \\ & x^3:b=0\\ \\ & \cdots \end{array}$$

 

이므로 식 (16)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& y=h(x)=x^2+\mathcal{O}(x^4)\end{array}$$

 

 

위 식을 식 (14)에 대입하면,

 

$$\dot{x}=x^4+\mathcal{O}(x^5)$$

 

이 되어서 $x$ 가 아주 작은 영역에서 평형점은 불안정하다는 것을 알 수 있다.

주의할 점은 식 (14)에서 $y=0$ 을 대입함으로써 ${\mathbb{W}}^c(0,0)$ 를 ${\mathbb{E}}^c$ 로 근사화한 것으로 착각한다면

 

$$\dot{x}=-x^5$$

 

가 되어서 평형점이 안정하다는 잘못된 결과를 도출할 수 있다.