비선형 시스템과 매니폴드 (Manifold)

시스템이 선형 시불변이면 시스템의 고유값(eigenvalue)을 이용하여 쉽게 안정성을 판별할 수 있었다. 시스템이 비선형일 경우에도 평형상태에 대해서 선형화를 한 후에 평형상태 근방에서 로컬 안정성을 판별할 수 있을 것이다.

 

 

다음과 같은 비선형 시스템이 있다고 하자.

 

\[ \dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}( \mathbf{x}) \tag{1} \]

 

여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수이다. 또한 \(\mathbf{x}_e\) 를 시스템 (1)의 평형점(equilibrium point)이라고 하자.

 

\[ \mathbf{f}( \mathbf{x}_e )=0 \tag{2} \]

 

이제 새로운 변수를 \(\mathbf{y}= \mathbf{x}-\mathbf{x}_e\) 로 정의한다면 시스템 (1)은

 

\[ \dot{\mathbf{y}} = \mathbf{f}( \mathbf{y}+ \mathbf{x}_e ) \tag{3} \]

 

로 쓸 수 있고 이 때 평형상태 \(\mathbf{x}_e\) 는 \(\mathbf{y}_e=0\) 로 바뀐다. 식 (3)을 테일러 시리즈로 전개하면,

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{y}} &= \mathbf{f}(\mathbf{x}_e )+ \left( \frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}} \right)_{\mathbf{x}_e} \mathbf{y} + \mathcal{O}(|\mathbf{y}|^2) \tag{4} \\ \\ & =J( \mathbf{x}_e) \mathbf{y}+ \mathcal{O}(|\mathbf{y}|^2) \end{align} \]

 

이 된다. 여기서 \(\mathcal{O}(|\mathbf{y}|^2)\) 는 \(\mathbf{y}\) 의 2차 이상의 고차항을 의미하며 자코비안 \(J(\mathbf{x}_e)\) 는 다음과 같다.

 

\[ J( \mathbf{x}_e) = \left( \frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}} \right)_{\mathbf{x}_e} \tag{5} \]

 

선형 시스템에서 했던 바와 같이 \(J(\mathbf{x}_e )\) 의 고유값에 따라 \(n\) 차원 벡터공간 \(\mathbb{R}^n\) 을 다음과 같이 안정 부분공간(stable subspace) \(\mathbb{E}^s\), 불안정(unstable) 부분공간 \(\mathbb{E}^u\) 및 센터(center) 부분공간 \(\mathbb{E}^c\) 로 분할할 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \mathbb{E}^s: \ \ \ Re(\lambda (J)) \lt 0 \tag{6} \\ \\ & \mathbb{E}^u: \ \ \ Re(\lambda (J)) \gt 0 \\ \\ & \mathbb{E}^c: \ \ \ Re(\lambda (J))=0, \ \ \ s+u+c=n \end{align} \]

 

각 부분공간의 고유벡터를 열로 하는 변환행렬 \(T\) 를 다음과 같이 정의하고

 

\[ T= \begin{bmatrix} \mathbf{v}^c_1 \ ... & \mathbf{v}^s_{c+1} \ ... & \mathbf{v}^u_{c+s+1} \ ... \end{bmatrix} \tag{7} \]

 

변환행렬을 이용하여 변수 \(\mathbf{y}\) 를 다음과 같이 세개의 변수로 변환한다.

 

\[ T \begin{bmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} = \mathbf{y} \tag{8} \]

 

여기서 \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^c\), \(\mathbf{v}(t) \in \mathbb{R}^s\), \(\mathbf{w}(t) \in \mathbb{R}^u\) 이다. 그러면 식 (4)는 다음과 같이 블록 대각행렬과 잔여 비선형 항을 갖는 시스템으로 변환된다.

 

\[ \begin{align} \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{u}} \\ \dot{\mathbf{v}} \\ \dot{\mathbf{w}} \end{bmatrix} &= T^{-1} \dot{\mathbf{y}} \tag{9} \\ \\ & = T^{-1} J(\mathbf{x}_e )T \begin{bmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} + T^{-1} \mathcal{O}(|\mathbf{y}|^2 ) \\ \\ & = \begin{bmatrix} A_c & 0 & 0 \\ 0 & A_s & 0 \\ 0 & 0 & A_u \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{u} \\ \mathbf{v} \\ \mathbf{w} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{g}_c(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} ) \\ \mathbf{g}_s(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} ) \\ \mathbf{g}_u(\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} ) \end{bmatrix} \end{align} \]

 

여기서 \(A_s \in \mathbb{R}^{s \times s}\) 는 실수부가 음수인 고유값을 갖는 행렬, \(A_u \in \mathbb{R}^{u \times u}\) 는 실수부가 양수인 고유값을 갖는 행렬, \(A_c \in \mathbb{R}^{c \times c}\) 는 실수부가 \(0\) 인 고유값을 갖는 행렬이다. \(\mathbf{g}_c\), \(\mathbf{g}_s\), \(\mathbf{g}_u\) 는 각각 벡터 \(T\mathcal{O}(|\mathbf{y}|^2 )\) 의 \(c, s, u\) 개의 성분들로 구성된 벡터이다.

만약 \(\mathbf{g}_c\), \(\mathbf{g}_s\), \(\mathbf{g}_u\) 가 모두 \(0\) 이라면 시스템 (4)또는 (9)는 선형 시스템이 되기 때문에 \(c\) 차원의 센터 부분공간, \(s\) 차원의 안정한 부분공간, \(u\) 차원의 불안정한 부분공간을 가지며 모두 평형점인 \(0\) 에서 교차한다. 하지만 비선형인 경우에는 부분공간의 구조에 변형이 생기는데, 센터 매니폴드 정리(center manifold theorem)에 의하면 다음 내용이 성립한다.

 

 

먼저 평형점 근방에서 안정(stable), 불안정(unstable) 및 센터(center) 매니폴드 \( ( \mathbb{W}^s (\mathbf{x}_e), \mathbb{W}^u (\mathbf{x}_e), \mathbb{W}^c (\mathbf{x}_e)) \) 가 존재하고 이러한 매니폴드는 평형점 \(\mathbf{x}_e\) 또는 \(\mathbf{y}=0\) 에서 각각의 부분공간인 \((\mathbb{E}^s, \mathbb{E}^u, \mathbb{E}^c)\) 에 접(tangent)한다. 그리고 안정한 매니폴드 \(\mathbb{W}^s\) 에 있는 궤적은 \(t \to +\infty\) 일 때 지수적으로 평형점에 수렴하고, 불안정한 매니폴드 \(\mathbb{W}^u\) 에 있는 궤적은 \( t \to -\infty\) 일 때 지수적으로 평형점에 수렴한다. 센터 매니폴드 \(\mathbb{W}^c\) 상의 궤적은 비선형 항에 따라서 평형점으로 수렴하거나 발산한다.

 

 

\(\mathbb{W}^u= \emptyset\) 이라고 가정하면 모든 궤적이 \(\mathbb{W}^c (\mathbf{x}_e)\) 로 빠르게 수렴한다. 따라서 평형점에 대한 시스템의 로컬 안정성은 \(\mathbb{W}^c\) 상의 궤적만 조사하면 된다. 이 경우 식 (9)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} & \dot{\mathbf{u}} = A_c \mathbf{u} + \mathbf{g}_c (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \tag{10} \\ \\ & \dot{\mathbf{v}} =A_s \mathbf{v} + \mathbf{g}_s (\mathbf{u}, \mathbf{v}) \end{align} \]

 

여기서 \((\mathbf{u}, \mathbf{v})=(0,0)\) 이 평형점이므로 \(\mathbf{g}_c (0,0)=0\), \(\mathbf{g}_s (0,0)=0\) 이고, 또한 매니폴드 \(\mathbb{W}^c (0,0)\), \( \mathbb{W}^s (0,0)\) 는 각각 평형점에서 부분공간 \(\mathbb{E}^c\), \(\mathbb{E}^s\) 에 접하므로 \( \frac{\partial \mathbf{g}_c (0,0)}{\partial \mathbf{u}}=0\), \( \frac{\partial \mathbf{g}_s (0,0)}{\partial \mathbf{v}}=0\) 이다.

안정한 매니폴드가 다음과 같이 센터 매니폴드의 함수라고 가정하면

 

\[ \mathbf{v}= \mathbf{h}( \mathbf{u}) \tag{11} \]

 

위 식은 다음 식을 만족해야 한다.

 

\[ \begin{align} \dot{\mathbf{v}} & = \frac{d \mathbf{h}(\mathbf{u})}{d \mathbf{u}} \dot{\mathbf{u}} \tag{12} \\ \\ &= \frac{ d \mathbf{h}(\mathbf{u})}{d \mathbf{u}} \left( A_c \mathbf{u}+ \mathbf{g}_c (\mathbf{u}, \mathbf{h}(\mathbf{u})) \right) \end{align} \]

 

식 (10)과 (12)를 비교하면 다음 조건식을 얻을 수 있다.

 

\[ \begin{align} & \frac{ d \mathbf{h}(\mathbf{u})}{d \mathbf{u}} \left( A_c \mathbf{u}+ \mathbf{g}_c (\mathbf{u}, \mathbf{h}(\mathbf{u})) \right) \tag{13} \\ \\ & \ \ \ \ \ -A_s \mathbf{v}- \mathbf{g}_s (\mathbf{u}, \mathbf{h}(\mathbf{u}))=0 \end{align} \]

 

예를 들어서 다음과 같은 2D 시스템이 있다고 할 때,

 

\[ \begin{align} & \dot{x} =x^2 y-x^5 \tag{14} \\ \\ & \dot{y} = -y+x^2 \end{align} \]

 

이 시스템을 식 (10)과 비교하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & A_c=0, \ \ \ A_s=-1, \tag{15} \\ \\ & g_c (x,y)=x^2 y-x^5, \ \ \ g_s (x,y)=x^2 \end{align} \]

 

센터 매니폴드를 계산하기 위해서 함수 (11)을 다음과 같은 함수로 가정한다.

 

\[ y=h(x)=ax^2+bx^3+\mathcal{O}(x^4) \tag{16} \]

 

식 (16)을 식 (13)에 대입하면,

 

\[ \begin{align} & (2ax+3bx^2+ \cdots )(ax^4+bx^5-x^5+ \cdots) \\ \\ & \ \ \ + ax^2+bx^3-x^2+ \cdots =0 \end{align} \]

 

이 된다. 위 식에서 다항식의 계수를 비교하면,

 

\[ \begin{align} & x^2: \ \ \ \ \ a-1=0 \ \to \ \ a=1 \\ \\ & x^3: \ \ \ \ \ b=0 \\ \\ & \ \ \ \ \ \cdots \end{align} \]

 

이므로 식 (16)은 다음과 같이 된다.

 

\[ y=h(x)=x^2+\mathcal{O}(x^4) \tag{17} \]

 

 

위 식을 식 (14)에 대입하면,

 

\[ \dot{x} =x^4+\mathcal{O}(x^5) \]

 

이 되어서 \(x\) 가 아주 작은 영역에서 평형점은 불안정하다는 것을 알 수 있다.

주의할 점은 식 (14)에서 \(y=0\) 을 대입함으로써 \(\mathbb{W}^c (0,0)\) 를 \(\mathbb{E}^c\) 로 근사화한 것으로 착각한다면

 

\[ \dot{x}=-x^5 \]

 

가 되어서 평형점이 안정하다는 잘못된 결과를 도출할 수 있다.