베이즈 필터(Bayes filter) 문제는 측정값의 시퀀스 \(\mathbf{z}_{0:t}\) 와 제어입력의 시퀀스 \(\mathbf{u}_{0:t-1}\) 을 조건으로 한 상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 조건부 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 을 계산하는 문제였다.
상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 사후(posterior) 조건부 확률밀도함수\(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 이 주어지면 다양한 종류의 상태변수 추정이 가능하다. 예를 들어 칼만필터(Kalman filter)는 최적 MMSE(minimum mean-square error) 추정값을 계산하는 필터로서 상태변수\(\mathbf{x}_t\) 의 추정값을 \(\hat{\mathbf{x}}_t = \mathbb{E} [\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}]\) 로 계산한다.
하지만 베이즈 필터 알고리즘을 이용하여 해석적으로 조건부 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 을 계산할 수 있는 경우는 극히 제한적이다. 따라서 수치적인 계산 방법이 필요한데 그 중의 하나가 샘플링(sampling)을 이용하는 방법이다.
디랙 델타(Dirac delta) 함수 \(\delta (\mathbf{x})\) 를 이용하면 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 을 다음과 같이 근사화 할 수 있다.
\[ p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \approx \sum_{i=1}^N w_t^{(i)} \delta (\mathbf{x}_t- \mathbf{x}_t^{(i) } ) \tag{1} \]
여기서 \( \mathbf{x}_t^{(i) } \) 는 확률밀도함수가 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 인 모집단에서 추출한 샘플(또는 파티클)이다. \(N\) 개의 샘플이 독립적이고 공평하게 추출됐다면(iid 샘플) 각 샘플이 추출될 확률 \(w_t^{(i)}\) 는 다음과 같이 동일하게 주어진다.
\[ w_t^{(i)}= P \{ \mathbf{x}_t = \mathbf{x}_t^{(i) } \} = \frac{1}{N} \tag{2} \]
그러면 \(\mathbf{x}_t\) 의 함수인 \(\mathbf{f}(\mathbf{x}_t)\) 의 기댓값 \(\mathbb{E}[ \mathbf{f}(\mathbf{x}_t) | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}] \) 는 다음과 같이 샘플 평균(sample mean)으로 추정할 수 있다.
\[ \begin{align} & \mathbb{E}_{\mathbf{x}_t \sim p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \left[ \mathbf{f}(\mathbf{x}_t) | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] \tag{3} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \int_{\mathbf{x}_t} \mathbf{f}(\mathbf{x}_t) p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \ d \mathbf{x}_t \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ \approx \int_{\mathbf{x}_t} \mathbf{f}(\mathbf{x}_t) \sum_{i=1}^N \frac{1}{N} \delta (\mathbf{x}_t- \mathbf{x}_t^{(i) } ) \ d\mathbf{x}_t \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{i=1}^N \frac{1}{N} \mathbf{f}(\mathbf{x}_t^{(i) } ) \end{align} \]
여기서 문제는 사후 확률밀도함수인 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 로부터 샘플을 추출할 수 있는가이다. 보통 임의의 확률밀도함수에서 샘플을 직접 추출하는 것은 사실상 불가능하다. 그래서 대신 쉽게 샘플을 추출할 수 있는 확률밀도함수인 중요분포(importance distribution)함수 \(q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 를 도입한다.
중요 샘플링(importance sampling)에 의하면 \(\mathbf{x}_t\) 의 기댓값은 다음과 같이 표현할 수 있다.
\[ \begin{align} & \mathbb{E}_{\mathbf{x}_t \sim p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \left[ \mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] \tag{4} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \int_{\mathbf{x}_t} \mathbf{x}_t p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \ d \mathbf{x}_t \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \int_{\mathbf{x}_t} \mathbf{x}_t p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \frac{ q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \ d \mathbf{x}_t \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \int_{\mathbf{x}_t} \left( \mathbf{x}_t \frac{ p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \right) q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \ d \mathbf{x}_t \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \mathbb{E}_{\mathbf{x}_t \sim q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \left[ \left( \mathbf{x}_t \frac{ p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \right) | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] \end{align} \]
식 (4)에 의하면 확률밀도함수 \( p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 을 \(\mathbf{x}_t^{(i) } \sim q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 에서 추출한 샘플을 이용하여 다음과 같이 근사화할 수 있다.
\[ p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \approx \sum_{i=1}^N w_t^{(i)} \delta (\mathbf{x}_t- \mathbf{x}_t^{(i) } ) \tag{5} \]
여기서 \(w_t^{(i)} \) 를 중요 가중치(importance weights)라고 하며 다음과 같이 계산한다.
\[ w_t^{(i) } \propto \frac{ p(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \tag{6} \]
식 (5)에서 근사화된 확률밀도함수도 확률밀도함수의 성질을 가져야 하므로 중요 가중치 \(w_t^{(i) }\) 는 항상 정규화 되어야 한다. 즉,
\[ \sum_{i=1}^N w_t^{(i) } =1 \tag{7} \]
식 (4), (5)와 (6)에 의하면 \(\mathbb{E}_{\mathbf{x}_t \sim p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \left[ \mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] \) 는 샘플 \(\mathbf{x}_t^{(i) } \sim q(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 과 그 샘플의 중요도를 나타내는 중요 가중치 \(w_t^{(i) }\) 를 이용하여 다음과 같이 근사적으로 계산할 수 있다.
\[ \mathbb{E}_{\mathbf{x}_t \sim p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \left[ \mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] \approx \sum_{i=1}^N w_t^{(i) } \mathbf{x}_t^{(i) } \tag{8} \]
한편, 순차 중요 샘플링(SIS, sequential importance sampling)은 중요 샘플링의 순차적인 버전이다. SIS는 베이즈 필터에서 고려했던 상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 조건부 확률밀도함수인 사후 확률밀도함수 \( p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 대신에 이를 시간스텝 0부터 t까지의 전체 상태변수 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}\) 로 확장시킨 전체 조건부 확률밀도함수 \( p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 을 다룬다.
이 확률밀도함수를 근사화 하기 위해서 중요 샘플링에서 했던 것과 같이 \(N\) 개의 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i)}\) 를 샘플링해야 하는데, 시간스텝이 증가할 때 마다 새로운 시퀀스를 다시 샘플링하는 것이 아니라 한 시간스텝 전까지 샘플링된 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}\) 에다가 현재 시간스텝 \(t\) 에서 추가적으로 샘플링한 \(N\) 개의 샘플 \(\mathbf{x}_t^{(i)}\) 를 덧붙여서 샘플링 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i)}\) 를 만드는 방법을 사용한다. 즉 '순차적인 버전' 이란 시간스텝 \(t\) 가 증가하면서 순차적으로 샘플링한다는 의미다.
\[ \mathbf{x}_{0:t}^{(i)} = \{ \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i) }, \ \mathbf{x}_t^{(i)} \} \]
전체 조건부 확률밀도함수 \( p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 을 전개해 보자.
\[ \begin{align} & p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \tag{9} \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_{0:t}, \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) p(\mathbf{x}_{0:t}, \mathbf{z}_{0:t-1} | \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ p(\mathbf{z}_{0:t} | \mathbf{u}_{0:t-1}) } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t) p(\mathbf{x}_{0:t}, \mathbf{z}_{0:t-1} | \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) p(\mathbf{z}_{0:t-1} | \mathbf{u}_{0:t-1}) } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t) p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t) p(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) p(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) }{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \\ \\ & \ \ \ \ \ \ \ = \eta \ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t) p(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{u}_{t-1}) p(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) \end{align} \]
여기서 \( \eta = \frac{1}{p(\mathbf{z}_t | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1})}\) 는 정규화 항이고, 베이즈 필터에서 사용한 마르코프 시퀀스와 비메모리 측정 모델 가정을 이용하였다.
\[ \begin{align} & p(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = p(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{u}_{t-1}) \tag{10} \\ \\ & p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_{0:t}, \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t) \end{align} \]
중요 샘플링 방법과 마찬가지로 중요분포함수 \( q(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 에서 \(N\) 개의 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i)}\) 를 샘플링한다면 중요 가중치는 다음과 같이 계산할 수 있다.
\[ w_t^{(i)} \propto \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t^{(i)}) p(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{t-1}^{(i)}, \mathbf{u}_{t-1}) p(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) }{ q(\mathbf{x}_{0:t}^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \tag{11} \]
여기서 중요분포함수에 다음과 같은 가정을 한다.
\[ q(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) q(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) \tag{12} \]
식 (12)는 순차적인 샘플링을 가능하게 하는 가정이다(중요분포함수를 한 스텝 전개하면 \( q(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) q(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 가 되나 \( q(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = q(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) \)로 가정한 것이다. 중요분포함수는 설계자의 선택의 문제이므로 타당한 가정이다). 식 (12)를 반복하면 다음과 같은 연쇄적인 식을 얻을 수 있다.
\[ q(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = q(\mathbf{x}_0) \prod_{k=1}^t q( \mathbf{x}_k | \mathbf{x}_{0:k-1}, \mathbf{z}_{0:k}, \mathbf{u}_{0:k-1}) \tag{13} \]
식 (13)에 의하면 \( q(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) \) 에서 샘플링한 \(N\) 개의 시퀀스 \( \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)} \) 에 중요분포인 \( q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 에서 샘플링한 \(N\) 개의 샘플 \(\mathbf{x}_t^{(i)}\) 를 합치면 \( q(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 에서 \(N\) 개의 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i)}\) 를 샘플링 한 것이 된다.
식 (12)를 식 (11)에 대입하면 중요 가중치는 다음과 같이 된다.
\[ w_t^{(i)} \propto \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t^{(i)}) p(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{t-1}^{(i)}, \mathbf{u}_{t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \frac{ p(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) }{ q(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) } \tag{14} \]
그런데 여기서
\[ w_{t-1}^{(i)} \propto \frac{ p(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) }{ q(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) } \tag{15} \]
이므로 시간스텝 \(t\) 에서의 중요 가중치와 시간스텝 \(t-1\) 에서의 중요 가중치는 다음과 같이 재귀(recursive)식 (보통 재귀식이라고 번역하는데 순 우리말인 도돌이식이라고 번역하는 것도 괜찮을 것 같다)을 만족하게 된다.
\[ w_t^{(i)} \propto \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t^{(i)}) p(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{t-1}^{(i)}, \mathbf{u}_{t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} w_{t-1}^{(i)} \tag{16} \]
정리하면 \( q(\mathbf{x}_{0:t-1} | \mathbf{z}_{0:t-1}, \mathbf{u}_{0:t-2}) \) 에서 샘플링한 \(N\) 개의 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i))} \) 의 중요 가중치가 \(w_{t-1}^{(i)}\) 라고 할 때, \( q(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \)에서 샘플링한 \(N\) 개의 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i))} \) 와 중요 가중치 \(w_t^{(i)}\) 를 계산하려면 시간스텝 \(t\) 에서 \( \mathbf{x}_t^{(i)} \sim q(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 를 샘플링하고 식 (16)으로 그 때의 중요 가중치를 계산하면 된다. 이것이 순차 중요 샘플링 또는 SIS 알고리즘이다.
SIS 알고리즘을 정리하면 다음과 같다.
[1] \(N\) 개의 샘플 \(\mathbf{x}_0^{(i)}\) 를 추출한다.
\[ \mathbf{x}_0^{(i)} \sim p(\mathbf{x}_0 ), \ \ \ i=1, ... , N \]
중요 가중치는 \(w_0^{(i)}=\frac{1}{N}\) 으로 한다.
[2] 시간스텝 \(t=1, ... ,T\) 동안 다음을 수행한다.
1. 중요분포에서 샘플 \(\mathbf{x}_t^{(i)}\) 를 추출한다.
\[ \mathbf{x}_t^{(i)} \sim q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}), \ \ \ i=1, ... , N \]
2. 중요 가중치를 다음 식으로 계산하고,
\[ w_t^{(i)} \propto \frac{ p(\mathbf{z}_t | \mathbf{x}_t^{(i)}) p(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{t-1}^{(i)}, \mathbf{u}_{t-1}) }{ q(\mathbf{x}_t^{(i)} | \mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} w_{t-1}^{(i)} \]
정규화 시킨다.
여기서 중요분포 \( q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \) 에 마르코프 시퀀스적인 가정을 도입한다면,
\[ q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{0:t-1}, \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) = q(\mathbf{x}_t | \mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{z}_t, \mathbf{u}_{t-1}) \tag{17} \]
중요밀도함수는 \(\mathbf{x}_{t-1}, \mathbf{z}_t, \mathbf{u}_{t-1}\) 에만 의존적이 되므로 SIS 알고리즘에서 상태변수의 전체 시퀀스 샘플 \(\mathbf{x}_{0:t-1}^{(i)}\) 와 측정값의 시퀀스 \(\mathbf{z}_{0:t}\) 와 제어입력의 시퀀스 \(\mathbf{u}_{0:t-1}\) 를 저장하지 않아도 된다.
순차 중요 샘플링에 의해서 중요 가중치를 계산하면 전체 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_{0:t}|\mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 을 다음과 같이 근사화할 수 있다.
\[ p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) \approx \sum_{i=1}^N w_t^{(i)} \delta (\mathbf{x}_{0:t}- \mathbf{x}_{0:t}^{(i) } ) \tag{18} \]
또한 \(\mathbb{E}_{\mathbf{x}_{0:t} \sim p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})} \left[ \mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] \) 는 샘플 \(\mathbf{x}_{0:t}^{(i) }\) 와 그 샘플의 중요도를 나타내는 중요 가중치 \(w_t^{(i) }\) 를 이용하여 다음과 같이 근사적으로 계산할 수 있다.
\[ \mathbb{E}_{\mathbf{x}_{0:t} \sim p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1}) } \left[ \mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1} \right] ≈ \sum_{i=1}^N w_t^{(i) } \mathbf{x}_{0:t}^{(i) } \tag{19} \]
그런데 식 (18)과 (19)는 상태변수 \(\mathbf{x}_t\) 의 조건부 확률밀도함수인 사후 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 가 아니라 시간스텝 \(0\) 부터 \(t\) 까지의 전체 상태변수 시퀀스 \(\mathbf{x}_{0:t}\) 로 확장시킨 전체 조건부 확률밀도함수 \(p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 에 관한 것이다.
그렇다면 \(p(\mathbf{x}_{0:t} | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 에서 \(p(\mathbf{x}_t | \mathbf{z}_{0:t}, \mathbf{u}_{0:t-1})\) 를 어떻게 계산할 수 있을까.
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