POD6 [VAE] beta-VAE 앞서 살펴본 바와 같이(https://pasus.tistory.com/263) VAE의 손실함수는 복원손실 항과 정규화 손실 항으로 구성된다. 식 (1)의 VAE 손실함수에서 첫번째 항인 복원손실은 복원(reconstruction)된 데이터가 원본 데이터와 얼마나 유사한지를 나타내는 오차다. 원본 데이터의 확률분포에 따라서 원본 데이터와 복원된 데이터 간의 교차 엔트로피나 L2 놈(norm)을 사용하여 복원손실을 계산할 수 있다. 두번째 항인 정규화(regularization) 손실은 고차원 입력 데이터를 저차원 잠재변수 공간(latent space)으로 인코딩할 때 잠재변수의 확률분포가 사전에(prior) 규정한 확률분포 \(p(\mathbf{z})\) 와 얼마나 유사한지를 계산하는 KL발산(Kullb.. 2023. 5. 11. [DMD-3] DMDior 입출력이 포함된 확장 DMD인 DMDio (DMD with input/output) 알고리즘을 유도해 보았다 (https://pasus.tistory.com/225). 원래 시스템을 식별한 후에 축소 모델 (ROM, reduced order model)로 근사화 하는 순서였다. 이번에는 이와 약간 다른 접근 방법을 사용해 보고자 한다. 바로 축소 모델을 식별하는 방법이다. 이러한 방법을 DMDior (DMDio for reduced order model)라고 한다. 식별하고자 하는 미지의 이산시간 시스템이 식 (1)과 같이 표현된다고 하자. \[ \begin{align} \mathbf{x}_{k+1} &= A \mathbf{x}_k+B \mathbf{u}_k \tag{1} \\ \\ \mathbf{y}_.. 2022. 11. 8. [POD-4] Gappy POD 매트랩 예제 Gappy POD 방법을 이용하여 손상된 얼굴 사진을 복구해 보자. 코드는 매트랩으로 작성했다. (1) Extended Yale Face Database B에서 36명의 정면 얼굴 사진을 추출하여 스냅샷 행렬을 만든다. 데이터셋의 샘플 평균을 계산한다. X = yaleFace(:, 1:36); % 32,256 by 36 mu = mean(X,2); (2) 모든 데이터셋을 다음과 같이 치환한다. \[ \mathbf{y}^{(i)} = \mathbf{x}^{(i) } - \mathbf{\mu} \] (3) 데이터셋의 스냅샷 행렬을 만든다. \[ Y = [ \mathbf{y}^{(1) } \ \mathbf{y}^{(2) } \ \cdots \ \mathbf{y}^{(m) } ] \ \in \mathbb{R}^.. 2021. 3. 1. [POD-3] 개피 적합직교분해 (gappy POD) 적합직교분해(POD) 또는 주성분 분석(PCA)은 \(n\)차원 공간상에서 \(d\)개의 POD 모드(mode) \(\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2, ..., \mathbf{w}_d\)로 구성된 부분 공간에 데이터 벡터 \(\mathbf{y}(t)\)를 투사(projection)할 때 투사 오차가 최소가 되도록 POD 모드를 결정하는 알고리즘이다. \[ \begin{align} \mathbf{y}^{(i)} & \approx \sum_{j=1}^d a_{ij} \mathbf{w}_j \\ \\ &= \begin{bmatrix} \mathbf{w}_1 & \mathbf{w}_2 & \cdots & \mathbf{w}_d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{i1} \\.. 2021. 3. 1. [POD-2] 스냅샷 적합직교분해 (snapshot POD) 고전 적합직교분해(classical POD)는 공간은 이산화시켰지만 시간은 연속적이다. 하지만 실제 유체역학이나 구조해석 문제의 경우 벡터 필드는 일정한 시간 간격의 싯점에서 수치해석으로 계산된 데이터나 또는 측정된 데이터로 주어진다. 고전 POD의 또 다른 문제점은 차원이 \(n=10^8 \sim 10^{10}\)에 달하는 매우 고차원 행렬의 고유값과 고유벡터를 계산해야 하는데 있다. 이 정도 규모의 차원에서 이를 계산하는 것은 거의 불가능하다. 이러한 고전 POD의 단점을 극복하기 위한 방안으로 스냅샷(snapshot) POD가 개발되었다. 스냅샷 POD는 벡터 필드의 공간 뿐만 아니라 시간도 이산화시켰다는 데 특징이 있다. 스냅샷이란 일정한 싯점에서 수집한 데이터의 집합을 뜻한다. 먼저 벡터 필드 .. 2021. 3. 1. [POD-1] 고전 적합직교분해 (classical POD) 적합직교분해(POD, proper orthogonal decomposition)은 본래 난류 유동(turbulent flow)에서 가장 에너지가 높은 모드를 추출하기 위해서 도입된 수학적인 기법이다. \(\mathbf{q}(\mathbf{p},t)\)를 위치벡터 \(\mathbf{p}\)와 시간 \(t\)를 독립변수로 하는 벡터 필드 (예를 들면 유동장에서의 속도 벡터)라고 하자. 이 벡터의 시간 평균을 \(\bar{\mathbf{q}}(\mathbf{p})\)라고 하면 벡터 필드가 평균을 기준으로 변동하는 성분(unsteady component)은 다음과 같이 기저함수(basis function)의 선형 조합으로 나타낼 수 있다. \[ \mathbf{q}(\mathbf{p},t)-\bar{\mathbf.. 2021. 2. 28. 이전 1 다음
