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유도항법제어/경로계획

포텐셜 필드 방법

by 세인트워터멜론 2021. 1. 29.

포텐셜 필드(potential field)의 아이디어는 목표점으로 이끄는(attractive) 인공적인 포텐셜 필드와 장애물로부터 멀어지게 내보내는(repulsive) 인공적인 포텐셜 필드를 형상공간에 구축하여, 로봇이나 비행체가 장애물을 피하면서 목표점에 다가갈 수 있는 운행 방향을 찾아보자는 것이다.

 

 

인력(attractive) 포텐셜은 로봇이나 비행체를 목표점으로 끄는 목적을 지니고 있으며 보통 파라볼릭(parabolic) 형태와 원추(conical) 형태, 그리고 이 둘을 결합한 형태를 사용하고 있다. 파라볼릭 형태의 포텐셜 필드는 다음 식으로 주어진다.

 

\[ U_{att1} (\mathbf{q})= \frac{1}{2} k_a \left\vert \mathbf{q}_{goal} - \mathbf{q} \right\vert^2 \]

 

여기서 \(k_a \gt 0\)은 스케일 파라미터이다. 포텐셜의 경사하강(gradient descent)이 힘(force)이 되므로 인력 포텐셜에 의한 인력(attractive force)는 다음과 같이 목표점까지의 거리의 차이에 비례값으로 주어진다.

 

\[ \mathbf{f}_{att1} (\mathbf{q})= - \nabla U_{att1} (\mathbf{q})=k_a (\mathbf{q}_{goal}-\mathbf{q}) \]

 

원추 형태의 포텐셜 필드는 다음 식으로 주어진다.

 

\[ U_{att2} (\mathbf{q})=k_b \left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert \]

 

원추 형태의 인력 포텐셜에 의한 힘은 다음과 같이 목표점까지의 거리에 상관없이 일정한 크기(constant)로 주어진다.

 

\[ \mathbf{f}_{att2} (\mathbf{q})= - \nabla U_{att2} (\mathbf{q}) = k_a \frac{(\mathbf{q}_{goal}-\mathbf{q})}{\left\vert\mathbf{q}_{goal}-\mathbf{q} \right\vert} \]

 

목표점과 가까운 거리에서는 \(\mathbf{f}_{att1} (\mathbf{q})\)이 \(\mathbf{f}_{att2} (\mathbf{q})\)보다 작은 크기이기 때문에 오버슈팅(overshooting) 가능성 면에서 바람직하지만 멀리 떨어진 거리에서는 크기가 매우 커지는 단점이 있다. 따라서 먼 거리에서는 원추 형태, 가까운 거리에서는 파라볼릭 형태의 포텐셜 필드를 갖는 결합형을 사용하기도 한다.

 

\[ U_{att} (\mathbf{q})= \begin{cases} \frac{1}{2} k_a \left\vert \mathbf{q}_{goal} - \mathbf{q} \right\vert^2 , & \mbox{if }\left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert \le \rho \\ k_b \left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert , & \mbox{if } \left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert \gt \rho \end{cases} \]

 

여기서 \(\left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert = \rho\) 에서 인력 \(\mathbf{f}_{att} (\mathbf{q})\)의 연속성을 위하여 \(k_b=\rho k_a\)의 조건이 필요하다.

 

 

이 때 인력(attractive force)은 다음과 같다.

 

\[ \mathbf{f}_{att} (\mathbf{q})= -\nabla U_{att} (\mathbf{q}) = \begin{cases} k_a ( \mathbf{q}_{goal} - \mathbf{q} ), & \mbox{if }\left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert \le \rho \\ k_b \frac{( \mathbf{q}_{goal} - \mathbf{q} )}{\left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert} , & \mbox{if } \left\vert \mathbf{q}_{goal}- \mathbf{q} \right\vert \gt \rho \end{cases} \]

 

 

 

척력(repulsive) 포텐셜은 로봇이나 비행체를 장애물로부터 떨어지게 밀치는 목적을 지니고 있기 때문에, 장애물 \(i\) 에 대해서 다음과 같은 포텐셜 필드를 갖는다.

 

\[ U_{rep, i} (\mathbf{q})= \begin{cases} \frac{1}{2} k_{r,i} \left( \frac{1}{d_{min,i} (\mathbf{q}) } - \frac{1}{d^\star_{obs, i}} \right)^2 , & \mbox{if } d_{min, i} \le d^\star_{obs, i} \\ 0 , & \mbox{if } d_{min, i} \gt d^\star_{obs, i} \end{cases} \]

 

여기서 \(k_{r,i} \gt 0\)이고, \(d_{min, i}= \left\vert \mathbf{q}_{obs,i}-\mathbf{q} \right\vert \)는 장애물 \(i\) 까지의 최단 거리이고 \(d_{obs,i}^\star\)는 미리 설정된 값으로, 만약 로봇이나 비행체가 장애물로부터 일정 거리 \(d_{obs,i}^\star\)이상 떨어져 있으면 장애물에 의한 척력 포텐셜은 무시한다.

척력 포텐셜에 의한 척력(repulsive force)은 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} \mathbf{f}_{rep, i} (\mathbf{q}) &= - \nabla U_{rep, i} (\mathbf{q}) \\ \\ &= \begin{cases} \frac{k_{r,i}}{d^2_{min,i}(\mathbf{q}) } \left( \frac{1}{d_{min,i} (\mathbf{q}) } - \frac{1}{d^\star_{obs, i}} \right) \nabla d_{min, i} (\mathbf{q}) , & \mbox{if } d_{min, i} \le d^\star_{obs, i} \\ 0 , & \mbox{if } d_{min, i} \gt d^\star_{obs, i} \end{cases} \end{align} \]

 

모든 장애물에 의한 척력 포텐셜과 척력은 각 장애물의 척력 포텐셜과 척력의 합으로 주어진다.

 

\[ \begin{align} & U_{rep} (\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^p U_{rep, i} (\mathbf{q}) \\ \\ & \mathbf{f}_{rep} (\mathbf{q}) = \sum_{i=1}^p \mathbf{f}_{rep, i} (\mathbf{q}) \end{align} \]

 

 

 

총(total) 포텐셜 필드와 총 힘은 각각 인력 포텐셜과 척력 포텐셜의 합과 인력과 척력의 합으로 주어진다.

 

\[ \begin{align} & U_{tot} (\mathbf{q}) = U_{att} (\mathbf{q}) + U_{rep} (\mathbf{q}) \\ \\ & \mathbf{f}_{tot} (\mathbf{q}) = \mathbf{f}_{att} (\mathbf{q}) + \mathbf{f}_{rep} (\mathbf{q}) \end{align} \]

 

 

 

경로계획에 포텐셜 필드를 이용할 때는 힘 \(\mathbf{f}_{tot} (\mathbf{q})\)를 로봇이나 비행체에 작용하는 물리적인 힘으로 해석할 수도 있고, 가속도, 또는 속도로 해석하여 적용할 수도 있다.

\(\mathbf{f}_{tot} (\mathbf{q})\)를 힘으로 해석하면 경로가 부드럽게 나오는 반면 속도로 해석하면 경로가 날카롭게 나오는 경향이 있다.

하지만 \(\mathbf{f}_{tot} (\mathbf{q})\)를 힘으로 해석하면 로봇이나 비행체의 동역학 식이 필요하기 때문에, \(\mathbf{f}_{tot} (\mathbf{q})\)를 속도로 해석하는 방법이 많이 쓰인다.

포텐셜 필드의 장점은 임무 환경 전체에 대한 정보가 필요 없고, 로봇이나 비행체의 센서 정보로만으로도 구현 가능하여 온라인(online) 경로계획에 적합하다는 것이다. 단점은 로컬 최소점(local minimum)으로 빠질 수 있다는 것이다. 로컬 최소점 문제를 해결하기 위해 항법식(navigation equation), 하모닉 포텐셜(harmonic potential)식을 이용하는 방법 등이 개발되어 있다.

 

 

 

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