내적 (Inner Product)

두 개의 벡터 사이의 덧셈은 각각의 구성 성분을 더하는 것으로 정의한다. 그렇다면 곱셈 연산은 어떻게 정의할까. 곱셈 연산으로 두 가지 방식이 있다. 바로 dot product와 cross product 연산이다.

 

 

두 벡터 $\mathbf{a}={\left[\begin{array}{cccc}{a}_1& a_2& \cdots & a_n\end{array}\right]}^T$와 $\mathbf{b}={\left[\begin{array}{cccc}{b}_1& b_2& \cdots & b_n\end{array}\right]}^T$가 있을 때, 두 벡터의 dot product 또는 내적(inner product)은 다음과 같이 정의한다.

 

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=a_1{b}_1+a_2{b}_2+\cdots +a_n{b}_n$$

 

내적은 위 식에서 보듯이 두 벡터의 성분을 차례로 곱한 다음에 모두 더하는 연산으로 정의한다. 보통 내적의 기호로 점(dot)을 이용하지만 다음과 같이 표기하기도 한다.

 

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=(\mathbf{a},\mathbf{b})={\mathbf{a}}^T\mathbf{b}$$

 

내적 연산의 결과로 스칼라 값이 나오기 때문에 내적을 scalar product라고도 한다.

정의에 의하면 내적은 다음과 같은 특성을 갖는다.

 

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}\\ \\ & \mathbf{a}\cdot (q_1\mathbf{b}+q_2\mathbf{c})=q_1(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})+q_2(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\\ \\ & \mathbf{0}\cdot \mathbf{a}=0\end{array}$$

 

여기서 $q_1$과 $q_2$는 임의의 상수다. 내적은 교환 법칙과 분배 법칙이 성립한다는 얘기로서 증명하는 것은 어렵지 않다. 한편 내적을 이용해서 벡터의 놈(norm)을 다음과 같이 정의한다.

 

$$\sqrt{\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}}=\Vert \mathbf{a}\Vert$$

 

norm에는 이것 말고도 몇 가지 정의가 더 있는데, 위와 같은 norm을 2-norm이라고 한다. 2-norm은 벡터의 길이(또는 크기)를 나타낸다.

내적에는 중요한 기하학적 의미가 있는데, 두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$ 사의의 각(angle) $\theta$를 다음과 같이 내적을 이용해서 계산할 수 있다는 것이다.

 

$$\cos \theta =\frac{\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}}{\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert }$$

 

증명해 보자. 여기서는 3차원 벡터에 대해서만 증명하지만 동일한 방법을 $n$-차원 벡터로도 확장시킬 수 있다. 원점 $O$에서 어떤 점 $A$와 $B$를 가리키는 벡터를 각각 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$라고 하자. 그러면 점 $A$에서 $B$까지의 벡터는 $\mathbf{b}-\mathbf{a}$가 된다. 3개의 점은 한 평면을 이루므로 세 개의 벡터는 한 평면 상에 존재한다.

 

 

두 벡터 $\mathbf{a}$와 $\mathbf{b}$의 사잇각을 $\theta$라고 하면, 코사인 법칙에 의해서 다음 식이 성립한다.

 

$$\Vert \mathbf{b}-\mathbf{a}{\Vert }^2=\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2+\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-2\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$

 

그런데 여기서

 

$$\begin{array}{rl}\Vert \mathbf{b}-\mathbf{a}{\Vert }^2& =(\mathbf{b}-\mathbf{a})\cdot (\mathbf{b}-\mathbf{a})\\ \\ & =\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}\\ \\ & =\Vert \mathbf{b}{\Vert }^2-2\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}+\Vert \mathbf{a}{\Vert }^2\end{array}$$

 

이므로

 

$$\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=\Vert \mathbf{a}\Vert \Vert \mathbf{b}\Vert \cos \theta$$

 

가 성립한다.

만약 두 벡터의 내적이 0이면 두 벡터는 서로 직각이다.

 

 

어떤 벡터 $\mathbf{a}$와 단위 벡터 $\mathbf{i}$간의 내적은 벡터 $\mathbf{a}$의 길이를 단위 벡터가 가리키는 방향으로 투사한 길이와 같다.

 

 

그런데 참고로 코사인 법칙은 다음과 같이 증명할 수 있다.

 

 

위 그림에서 녹색으로 칠한 직각 삼각형에 주목하자. 직각 삼각형의 높이는 $b\sin \theta$이고, 밑변의 길이는 $a-b\cos \theta$ 이므로, 피타고라스의 정리에 의해서 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{rl}{c}^2& =(b\sin \theta {)}^2+(a-b\cos \theta {)}^2\\ \\ & =b^2{\sin }^2\theta +a^2-2ab\cos \theta +b^2{\cos }^2\theta \\ \\ & =a^2+b^2-2ab\cos \theta \end{array}$$