[MPC] MPC를 위한 두가지 QP 모델 - 1

MPC는 다음과 같은 제약조건을 갖는 선형 시스템에서

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & {\mathbf{x}}_{t+1}=A{\mathbf{x}}_t+B{\mathbf{u}}_t\\ & {\mathbf{y}}_t=C{\mathbf{x}}_t\\ \\ \text{(2)}& & {\mathbf{u}}_{min}\le {\mathbf{u}}_{t+i}\le {\mathbf{u}}_{max},i=0,...,N-1\\ & {\mathbf{y}}_{min}\le {\mathbf{y}}_{t+i}\le {\mathbf{y}}_{max},i=1,...,N\end{array}$$

 

매 시간 스텝마다 다음 목적함수가 일정 성능 예측구간 $[t,t+N]$ 에서 최적화되도록 제어입력의 시퀀스 ${\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^{\ast }=({\mathbf{u}}_t^{\ast },{\mathbf{u}}_{t+1}^{\ast },...,{\mathbf{u}}_{t+N-1}^{\ast })$ 를 계산하는 문제다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \underset{{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}}{min}J={\mathbf{x}}_{t+N}^T{Q}_f{\mathbf{x}}_{t+N}+\sum _{i=0}^{N-1}{\mathbf{x}}_{t+i}^{T}Q{\mathbf{x}}_{t+i}+{\mathbf{u}}_{t+i}^{T}R{\mathbf{u}}_{t+i}\end{array}$$

 

실제 제어입력으로는 제어입력의 시퀀스에서 첫 번째 항인 ${\mathbf{u}}_t^{\ast }$ 만을 사용한다.

 

위와 같은 동적 최적화 문제를 QP (quadratic program)문제로 변환한 후 정적 최적화 기법을 적용하여 푸는 것이 일반적인 MPC 알고리즘이다.

여기서는 QP 문제로 변환할 때 사용되는 두가지 방법에 대해서 알아보고자 한다.

먼저 가장 많이 사용되는 범용적 방법에 대해서 설명한다. 식 (1)에 의하면 시간 스텝(time step) $t$ 부터 $t+N$ 까지 미래의 상태를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& & {\mathbf{x}}_{t+1}=A{\mathbf{x}}_t+B{\mathbf{u}}_t\\ & {\mathbf{x}}_{t+2}=A{\mathbf{x}}_{t+1}+B{\mathbf{u}}_{t+1}=A^2{\mathbf{x}}_t+AB{\mathbf{u}}_t+B{\mathbf{u}}_{t+1}\\ \\ & \cdots \\ \\ & {\mathbf{x}}_{t+N}=A^N{\mathbf{x}}_t+A^{N-1}B{\mathbf{u}}_t+\cdots +AB{\mathbf{u}}_{t+N-2}+B{\mathbf{u}}_{t+N-1}\end{array}$$

 

식 (4)를 행렬 형식으로 바꾸면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{t+1}\\ {\mathbf{x}}_{t+2}\\ {\mathbf{x}}_{t+3}\\ ⋮\\ {\mathbf{x}}_{t+N}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}A\\ A^2\\ A^3\\ ⋮\\ A^N\end{array}\right]{\mathbf{x}}_t+\left[\begin{array}{ccccc}B& 0& 0& \cdots & 0\\ AB& B& 0& \cdots & 0\\ A^{2}B& AB& B& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& \cdots & AB& B\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_t\\ {\mathbf{u}}_{t+1}\\ {\mathbf{u}}_{t+2}\\ ⋮\\ {\mathbf{u}}_{t+N-1}\end{array}\right]\end{array}$$

 

또는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\mathbf{x}}_{t+1:t+N}=\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Gamma }{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\end{array}$$

 

여기서

 

$$\begin{array}{rl}& {\mathbf{x}}_{t+1:t+N}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{t+1}\\ {\mathbf{x}}_{t+2}\\ {\mathbf{x}}_{t+3}\\ ⋮\\ {\mathbf{x}}_{t+N}\end{array}\right],{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_t\\ {\mathbf{u}}_{t+1}\\ {\mathbf{u}}_{t+2}\\ ⋮\\ {\mathbf{u}}_{t+N-1}\end{array}\right],\\ \\ & \mathrm{\Phi }=\left[\begin{array}{c}A\\ A^2\\ A^3\\ ⋮\\ A^N\end{array}\right],\mathrm{\Gamma }=\left[\begin{array}{ccccc}B& 0& 0& \cdots & 0\\ AB& B& 0& \cdots & 0\\ A^{2}B& AB& B& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ A^{N-1}B& A^{N-2}B& \cdots & AB& B\end{array}\right]\end{array}$$

 

이다. 식 (3)의 목적함수도 다음과 같이 행렬 형식으로 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& J& ={\mathbf{x}}_{t+N}^T{Q}_f{\mathbf{x}}_{t+N}+\sum _{i=0}^{N-1}{\mathbf{x}}_{t+i}^{T}Q{\mathbf{x}}_{t+i}+{\mathbf{u}}_{t+i}^{T}R{\mathbf{u}}_{t+i}\\ & ={\mathbf{x}}_t^{T}Q{\mathbf{x}}_t+\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{x}}_{t+1}& {\mathbf{x}}_{t+2}& \cdots & {\mathbf{x}}_{t+N}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}Q& & & \\ & Q& & \\ & & \ddots & \\ & & & Q_f\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{t+1}\\ {\mathbf{x}}_{t+2}\\ ⋮\\ {\mathbf{x}}_{t+N}\end{array}\right]\\ \\ & +\left[\begin{array}{cccc}{\mathbf{u}}_t& {\mathbf{u}}_{t+1}& \cdots & {\mathbf{u}}_{t+N-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cccc}R& & & \\ & R& & \\ & & \ddots & \\ & & & R\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_t\\ {\mathbf{u}}_{t+1}\\ ⋮\\ {\mathbf{u}}_{t+N-1}\end{array}\right]\\ \\ & ={\mathbf{x}}_t^{T}Q{\mathbf{x}}_t+{\mathbf{x}}_{t+1:t+N}^T\overline{Q}{\mathbf{x}}_{t+1:t+N}+{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^T\overline{R}{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\end{array}$$

 

여기서

 

$$\overline{Q}=\left[\begin{array}{cccc}Q& & & \\ & Q& & \\ & & \ddots & \\ & & & Q_f\end{array}\right],\overline{R}=\left[\begin{array}{cccc}R& & & \\ & R& & \\ & & \ddots & \\ & & & R\end{array}\right]$$

 

이다. 식 (6)을 (7)에 대입하면 식 (7)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}\text{(8)}& J& ={\mathbf{x}}_t^{T}Q{\mathbf{x}}_t+(\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Gamma }{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}{)}^T\overline{Q}(\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Gamma }{\mathbf{u}}_{t:t+N-1})& +{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^T\overline{R}{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\\ \\ & ={\mathbf{x}}_t^T(Q+{\mathrm{\Phi }}^T\overline{Q}\mathrm{\Phi }){\mathbf{x}}_t+2{\mathbf{x}}_t^T{\mathrm{\Phi }}^T\overline{Q}\mathrm{\Gamma }{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\\ & +{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^T(\overline{R}+{\mathrm{\Gamma }}^T\overline{Q}\mathrm{\Gamma }){\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\\ \\ & ={\mathbf{x}}_t^{T}Y{\mathbf{x}}_t+2{\mathbf{x}}_t^T{F}^T{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}+{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^{T}H{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\end{array}$$

 

여기서

 

$$Y=Q+{\mathrm{\Phi }}^T\overline{Q}\mathrm{\Phi },F={\mathrm{\Gamma }}^T\overline{Q}\mathrm{\Phi },H=\overline{R}+{\mathrm{\Gamma }}^T\overline{Q}\mathrm{\Gamma }$$

 

이다. 식 (8)은 ${\mathbf{x}}_t$ 의 값이 주어진다는 가정하에 최적화 변수가 ${\mathbf{u}}_{t:t+N-1}$ 인 2차 함수이다.

 

 

한편 식 (2)의 제약조건도 ${\mathbf{u}}_{t:t+N-1}$ 의 함수로 표현하기 위해서 수식을 다음과 같이 재 구성한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& & \left[\begin{array}{c}I\\ -I\end{array}\right]{\mathbf{u}}_{t+i}\le \left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_{max}\\ -{\mathbf{u}}_{min}\end{array}\right],i=0,...,N-1\\ & \left[\begin{array}{c}C\\ -C\end{array}\right]{\mathbf{x}}_{t+i}\le \left[\begin{array}{c}{\mathbf{y}}_{max}\\ -{\mathbf{y}}_{min}\end{array}\right],i=1,...,N\end{array}$$

 

식 (9)를 시간 스텝별로 한 개의 식으로 표현하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& & \left[\begin{array}{c}I\\ -I\end{array}\right]{\mathbf{u}}_{t+i}\le \left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_{max}\\ -{\mathbf{u}}_{min}\end{array}\right],i=0\\ & \left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ C\\ -C\end{array}\right]{\mathbf{x}}_{t+i}+\left[\begin{array}{c}I\\ -I\\ 0\\ 0\end{array}\right]{\mathbf{u}}_{t+i}\le \left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_{max}\\ -{\mathbf{u}}_{min}\\ {\mathbf{y}}_{max}\\ -{\mathbf{y}}_{min}\end{array}\right],i=1,...,N-1\\ \\ & \left[\begin{array}{c}C\\ -C\end{array}\right]{\mathbf{x}}_{t+i}\le \left[\begin{array}{c}{\mathbf{y}}_{max}\\ -{\mathbf{y}}_{min}\end{array}\right],i=N\end{array}$$

 

식 (10)에 있는 모든 시간스텝의 제약조건을 한데 묶으면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ M_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & M_N\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_{t+1}\\ ⋮\\ {\mathbf{x}}_{t+N}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{ccc}{E}_0& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & E_{N-1}\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_t\\ ⋮\\ {\mathbf{u}}_{t+N-1}\end{array}\right]\le \left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_0\\ {\mathbf{b}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{b}}_N\end{array}\right]\end{array}$$

 

또는

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \overline{M}{\mathbf{x}}_{t+1:t+N}+\overline{E}{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\le \overline{\mathbf{b}}\end{array}$$

 

이다. 여기서

 

$$\begin{array}{rl}& M_i=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\\ C\\ -C\end{array}\right],E_i=\left[\begin{array}{c}I\\ -I\\ 0\\ 0\end{array}\right],{\mathbf{b}}_i=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_{max}\\ -{\mathbf{u}}_{min}\\ {\mathbf{y}}_{max}\\ -{\mathbf{y}}_{min}\end{array}\right],i=1,...,N-1\\ \\ & E_0=\left[\begin{array}{c}I\\ -I\end{array}\right],{\mathbf{b}}_0=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{u}}_{max}\\ -{\mathbf{u}}_{min}\end{array}\right],M_N=\left[\begin{array}{c}C\\ -C\end{array}\right],{\mathbf{b}}_N=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{y}}_{max}\\ -{\mathbf{y}}_{min}\end{array}\right],\\ \\ & \overline{M}=\left[\begin{array}{ccc}0& \cdots & 0\\ M_1& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & M_N\end{array}\right],\overline{E}=\left[\begin{array}{ccc}{E}_0& & 0\\ & \ddots & \\ 0& & E_{N-1}\\ 0& \cdots & 0\end{array}\right],\overline{\mathbf{b}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{b}}_0\\ {\mathbf{b}}_1\\ ⋮\\ {\mathbf{b}}_N\end{array}\right]\end{array}$$

 

이다. 식 (6)을 (12)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \overline{M}(\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t+\mathrm{\Gamma }{\mathbf{u}}_{t:t+N-1})+\overline{E}{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\le \overline{\mathbf{b}}\end{array}$$

 

위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& (\overline{M}\mathrm{\Gamma }+\overline{E}){\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\le \overline{\mathbf{b}}-\overline{M}\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t\end{array}$$

 

정리하면 식 (1), (2), (3)으로 주어지는 MPC의 동적 최적화 문제는 다음과 같이 QP 최적화 문제로 변환된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& & \underset{{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}}{min}J={\mathbf{x}}_t^{T}Y{\mathbf{x}}_t+2{\mathbf{x}}_t^T{F}^T{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}+{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^{T}H{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\\ & \text{subject to }(\overline{M}\mathrm{\Gamma }+\overline{E}){\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\le \overline{\mathbf{b}}-\overline{M}\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t\end{array}$$

 

여기서 ${\mathbf{x}}_t$ 는 측정할 수 있다고 가정한다. 위 식에서 목적함수의 첫번째 항은 최적화 변수의 함수가 아니므로 최종적으로 다음과 같은 QP 문제를 유도할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(16)}& & \underset{{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}}{min}\tilde{J}=2{\mathbf{x}}_t^T{F}^T{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}+{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}^{T}H{\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\\ & \text{subject to }(\overline{M}\mathrm{\Gamma }+\overline{E}){\mathbf{u}}_{t:t+N-1}\le \overline{\mathbf{b}}-\overline{M}\mathrm{\Phi }{\mathbf{x}}_t\end{array}$$

 

QP 솔버는 여러가지가 있지만 만약 Matlab을 사용하여 풀려면 함수 'quadprog' 를 사용하면 된다.

 

범용 솔버를 사용하여 QP문제를 풀 경우 시간이 많이 소요되기 때문에 MPC는 전통적으로 샘플 시간이 초 또는 분 단위로 측정되는 느린 역학을 가진 시스템으로 적용이 제한되었다. 반응 속도가 빠른 시스템에 MPC를 구현하는 한 가지 방안으로 모든 상태변수에 대해서 제어값을 미리 오프라인해서 계산한 다음 제어값을 룩업 테이블(lookup table)의 형태로 온라인으로 구현하는 방법이 있다. 이것이 explicit MPC 또는 리얼타임 MPC의 아이디어이다.

이 방법의 단점은 테이블의 항목 수가 예측구간, 상태 및 입력변수의 차원에 따라 기하급수적으로 증가할 수 있어서 테이블을 조회하는 시간 역시 기하급수적으로 증가한다는 데 있다. 하지만 룩업 테이블 대신에 최근 발전하고 있는 인공 신경망 기술을 이용하여 테이블을 피팅한다면 고속으로 제어입력을 계산해 낼 수 있을 것으로 생각된다.