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유도항법제어/최적제어

[PSOC-7] 유사 스펙트럴 방법 예제

by 깊은대학 2022. 4. 24.

유사 스펙트럴(pseudospectral) 방법은 다음과 같이 경계조건을 갖는 미분방정식이 있을 때,

 

(1)Dx(t)=g(t),   xVRnBx(t)=0,   xV

 

방정식의 미지해 x(t) 를 다음과 같은 형식을 갖는 X(t) 로 근사적으로 구하는 방법이다.

 

 

 

(2)x(t)X(t)=i=1NdiLi(t)

 

위 식에서 N 개의 파라미터 di 는 다음 식을 만족하도록 계산된다.

 

(3)DX(tj)=i=1NdiL˙i(tj)=g(tj),   j=1,...,M

 

여기서 D 는 미분, B 는 경계조건을 뜻하는 연산자이고. Li(t) 는 라그랑지 기저 다항식(Lagrange basis polynomial), N 은 라그랑지 다항식의 보간점(interpolating point) 갯수, M 은 콜로케이션 포인트(collocation point)의 갯수이다.

유사 스펙트럴 방법으로 다음 경계조건을 갖는 일차 미분방정식의 근사해를 구해보자.

 

(4)dxdt=2t+13,   t[1,1]x(1)=13

 

위 미분 방정식은 해석적으로 풀 수 있는데 정답은 다음과 같다.

 

(5)x(t)=1+t3t2

 

이제 3개의 보간점을 이용한 유사 스펙트럴 방법으로 근사해를 구해본다. 근사해는 식 (2)의 형식대로 다음과 같이 주어진다.

 

(6)x(t)X(t)=i=13diLi(t)

 

먼저 3개의 등간격(equidistance) 콜로케이션 포인트 t1=1,t2=0,t3=1 을 이용해 보자. 보간점은 콜로케이션 포인트와 일치시킨다. 그럼 각 콜로케이션 포인트에서는 식 (3)으로 주어진 대로 다음 미분 방정식을 만족해야 한다.

 

(7)i=13diL˙i(tj)=2tj+13,   j=1,2,3

 

위 식을 행렬식으로 풀어쓰면 다음과 같다.

 

(8)[L˙1(t1)L˙2(t1)L˙3(t1)L˙1(t2)L˙2(t2)L˙3(t2)L˙1(t3)L˙2(t3)L˙3(t3))][d1d2d3]       =[1.520.50.500.50.521.5][d1d2d3]=[7/31/35/3]

 

그리고 경계조건인 다음 식을 만족해야 한다.

 

(9)X(t1)=13=i=13diLi(t1)=d1

 

식 (8)에서 역행렬은 존재하지 않는다. 하지만 경계조건에서 d1=1/3 임을 알고 있으므로 d2=1,d3=1/3 을 얻을 수 있다. 따라서 근사해는 다음 그림과 같이 되어서 해석적인 해와 일치한다.

 

 

 

 

이번에는 2개의 LG(Legendre-Gauss) 콜로케이션 포인트 t1=0.5774,t2=0.5774 를 이용해 보자. 보간점으로는 여기에 포인트 t0=1 을 추가한다. 그러면 각 콜로케이션 포인트에서는 다음 미분 방정식을 만족해야 한다.

 

(10)i=02diL˙i(tj)=2tj+13,   j=1,2

 

위 식을 행렬식으로 풀어쓰면 다음과 같다.

 

(11)[L˙0(t1)L˙1(t1)L˙2(t1)L˙0(t2)L˙1(t2)L˙2(t2)][d0d1d2]       =[1.73211.50.23211.73213.23211.5][d0d1d2]=[1.48800.8214]

 

그리고 경계조건인 다음 식을 만족해야 한다.

 

(12)X(t0)=13=i=02diLi(t0)=d0

 

d0=1/3 이므로 d1=0.4742,d2=0.859 를 얻을 수 있다. 따라서 근사해는 다음 그림과 같이 되어서 해석적인 해와 일치한다.

 

 

다음은 2개의 LGR (Legendre-Gauss-Radau) 콜로케이션 포인트 t1=1,t2=0.3333 의 경우이다. 보간점으로는 여기에 포인트 t3=1 을 추가한다. 그럼 각 콜로케이션 포인트에서는 다음 미분 방정식을 만족해야 한다.

 

(13)i=13diL˙i(tj)=2tj+13,   j=1,2

 

위 식을 행렬식으로 풀어쓰면 다음과 같다.

 

(14)[L˙1(t1)L˙2(t1)L˙3(t1)L˙1(t2)L˙2(t2)L˙3(t2)][d1d2d3]       =[1.252.251.00.250.751.0][d1d2d3]=[7/31/3]

 

그리고 경계조건인 다음 식을 만족해야 한다.

 

(15)X(t1)=13=i=13diLi(t0)=d1

 

d1=1/3 이므로 d2=1,d3=1/3 을 얻을 수 있다. 따라서 근사해는 다음 그림과 같이 되어서 해석적인 해와 일치한다.

 

 

 

 

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