전기 항공기의 항속시간(Endurance)과 항속거리(Range)

배터리를 동력원으로 하는 전기 항공기(electric aircraft)의 경우에는 비행시 항공기의 무게 변화가 없는 것이 특징이다.

 

 

배터리의 에너지 용량을 $B$ 라고 하면 전력(power) $P_B$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \frac{dB}{dt}=-P_B\end{array}$$

 

전력이 동력 시스템에 전달되는 과정의 손실을 고려하여 동력 효율 ${\eta }_e$ 를 이용하면 배터리의 출력 전력 $P_e$ 는 다음과 같이 계산할 수 있다. 동력 효율은 모터 효율과 프로펠러 효율을 따로 구분하지 않은 전체 효율로 보면 된다.

 

$$P_e={\eta }_e{P}_B$$

 

비행에 필요한 동력(power)을 전적으로 배터리가 제공한다면 $P_e=P_{req}$ 가 되어야 한다. 여기서 $P_{req}$ 는 요구 동력(required power)로서 추력($T$)와 항공기 비행 속도($v$)의 곱으로 주어진다.

 

$$P_{req}=Tv$$

 

식 (1)에 의하면,

 

$$\frac{dB}{dt}=-\frac{P_{req}}{{\eta }_e}$$

 

이므로

 

$$dt=-\frac{{\eta }_{e}dB}{P_{req}}$$

 

이 된다. 전기 항공기가 비행할 수 있는 시간은 배터리가 방전하여 일정량에 도달할 때까지이므로 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& E={\int }_{t_0}^{t_1}dt={\int }_{B_0}^{B_1}-\frac{{\eta }_e}{P_{req}}dB\end{array}$$

 

위 식에서 적분을 계산하기 위해서는 추력비연료소모량 및 추력과 항공기 무게 변화와의 함수 관계를 알아야 한다. 특별한 경우로서 항공기가 일정한 고도와 속도로 수평 비행을 한다고 가정하자. 그러며 다음 관계가 성립한다.

 

$$L=W,T=D$$

 

여기서 $L$ 은 양력, $D$ 는 항력이다. 이 때 항공기 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& v=\sqrt{\frac{2W}{\rho S{C}_L}}\end{array}$$

 

여기서 $\rho$ 는 공기 밀도, $S$ 는 항공기 기준 날개 면적, $C_L$ 은 양력계수 이다.

 

 

그러면 식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{rl}E& ={\int }_{B_0}^{B_1}-\frac{{\eta }_e}{Dv}dB\\ \\ & ={\int }_{B_1}^{B_0}\sqrt{\frac{\rho S}{2}}\frac{{\eta }_e{C}_L^{3/2}}{W^{3/2}{C}_D}dB\end{array}$$

 

여기서 $C_D$ 는 항력계수다. 순항 비행하는 동안 동력 효율, $C_L$ 과 $C_D$ 가 상수라고 가정하면 항속시간은 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& E& =\sqrt{\frac{\rho S}{2}}\frac{{\eta }_e{C}_L^{3/2}}{W^{3/2}{C}_D}{\int }_{B_1}^{B_0}dB\\ & =\frac{{\eta }_e}{W^{3/2}}\sqrt{\frac{\rho S}{2}}\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\mathrm{\Delta }B\end{array}$$

 

여기서 $\mathrm{\Delta }B=B_0-B_1$ 는 배터리 소모량이다.

위 식에 의하면 전기 항공기에서 항속시간을 최대로 만들기 위해서는 큰 동력 효율, 작은 항공기 무게, 많은 배터리 용량, 해수면 고도에서의 비행과 함께 ${\left(\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\right)}_{max}$ 가 필요하다. 최대 항속시간을 계산하기 위하여 다음과 같은 항력계수 식을 고려한다.

 

$$C_D=C_{D_0}+k{C}_L^2$$

 

여기서 $C_{D_0}$ 는 양력이 $0$ 일 때의 항력계수인 유해항력계수, $k$ 는 유도양력계수이다. 그러면 $\frac{C_L}{C_D}$ 는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\frac{C_L^{3/2}}{C_D}=\frac{C_L^{3/2}}{C_{D_0}+k{C}_L^2}$$

 

$\frac{C_L^{3/2}}{C_D}$ 의 최대값은 $\frac{C_L^{3/2}}{C_D}$ 를 $C_L$ 로 미분한 후 $0$ 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

$$\frac{d(C_L^{3/2}/C_D)}{d{C}_L}=0=\frac{\frac{3}{2}{C}_L^{1/2}(C_{D_0}+k{C}_L^2)-C_L^{3/2}(2k{C}_L)}{(C_{D_0}+k{C}_L^2{)}^2}$$

 

따라서 $C_{D_0}=\frac{1}{3}k{C}_L^2$ 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& {\left(\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\right)}_{max}=\frac{1}{4}{\left(\frac{3^3}{k^3{C}_{D_0}}\right)}^{1/4}\end{array}$$

 

위 식을 (4)에 대입하면 최대 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}{E}^{\ast }& =\frac{{\eta }_e}{W^{3/2}}\sqrt{\frac{\rho S}{2}}\frac{1}{4}{\left(\frac{3^3}{k^3{C}_{D_0}}\right)}^{1/4}\mathrm{\Delta }B\\ \\ & ={\left(\frac{27}{1024}\right)}^{1/4}\frac{{\eta }_e\sqrt{\rho S}\mathrm{\Delta }B}{C_{D_0}^{1/4}{k}^{3/4}{W}^{3/2}}\end{array}$$

 

그리고 식 (5)를 (3)에 대입하면 최대 항속시간을 위한 비행 속도를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$v_E^{\ast }={\left(\frac{4k{W}^2}{3{\rho }^2{S}^2{C}_{D_0}}\right)}^{1/4}$$

 

 

 

항속거리를 계산하기 위하여 미분의 연쇄법칙을 이용하면,

 

$$\frac{dB}{dt}=\frac{dB}{ds}\frac{ds}{dt}=\frac{dB}{ds}v=-\frac{P_{req}}{{\eta }_e}$$

 

이므로

 

$$ds=-v\frac{{\eta }_{e}dB}{P_{req}}$$

 

가 된다. 따라서 항속거리는 다음과 같이 계산된다.

 

$$R={\int }_{s_0}^{s_1}ds={\int }_{B_0}^{B_1}-v\frac{{\eta }_{e}dB}{P_{req}}$$

 

항속시간을 계산할 때와 동일한 가정을 한다면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& R& ={\int }_{B_1}^{B_0}v\frac{{\eta }_{e}dB}{Dv}={\int }_{B_1}^{B_0}\frac{{\eta }_e}{D}dB\\ & ={\int }_{B_1}^{B_0}\frac{{\eta }_e}{D}\frac{L}{W}dB\\ \\ & =\frac{{\eta }_e}{W}\frac{C_L}{C_D}\mathrm{\Delta }B\end{array}$$

 

위 식에 의하면 전기 항공기에서 항속거리를 최대로 만들기 위해서는 큰 동력 효율, 작은 항공기 무게, 많은 배터리 용량과 함께 ${\left(\frac{C_L}{C_D}\right)}_{max}$ 가 필요하다. $\frac{C_L}{C_D}$ 의 최대값은 $\frac{C_L}{C_D}$ 를 $C_L$ 로 미분한 후 $0$ 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

$$\frac{d(C_L/C_D)}{d{C}_L}=0=\frac{C_{D_0}+k{C}_L^2-C_L(2k{C}_L)}{(C_{D_0}+k{C}_L^2{)}^2}$$

 

따라서 $C_{D_0}=k{C}_L^2$ 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\left(\frac{C_L}{C_D}\right)}_{max}=\frac{1}{2\sqrt{k{C}_{D_0}}}\end{array}$$

 

위 식을 (6)에 대입하면 최대 항속거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$R^{\ast }=\frac{{\eta }_e\mathrm{\Delta }B}{2W\sqrt{k{C}_{D_0}}}$$

 

최대 항속거리를 위한 비행 속도는 식 (7)을 (3)에 대입하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$v_R^{\ast }={\left(\frac{4k{W}^2}{{\rho }^2{S}^2{C}_{D_0}}\right)}^{1/4}$$