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항공우주/비행역학

전기 항공기의 항속시간(Endurance)과 항속거리(Range)

by 세인트워터멜론 2022. 10. 3.

배터리를 동력원으로 하는 전기 항공기(electric aircraft)의 경우에는 비행시 항공기의 무게 변화가 없는 것이 특징이다.

 

 

배터리의 에너지 용량을 \(B\) 라고 하면 전력(power) \(P_B\) 는 다음과 같다.

 

\[ \frac{dB}{dt}= -P_B \tag{1} \]

 

전력이 동력 시스템에 전달되는 과정의 손실을 고려하여 동력 효율 \(\eta_e\) 를 이용하면 배터리의 출력 전력 \(P_e\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다. 동력 효율은 모터 효율과 프로펠러 효율을 따로 구분하지 않은 전체 효율로 보면 된다.

 

\[ P_e = \eta_e P_B \]

 

비행에 필요한 동력(power)을 전적으로 배터리가 제공한다면 \(P_e=P_{req}\) 가 되어야 한다. 여기서 \(P_{req}\) 는 요구 동력(required power)로서 추력(\(T\))와 항공기 비행 속도(\(v\))의 곱으로 주어진다.

 

\[ P_{req}=Tv \]

 

식 (1)에 의하면,

 

\[ \frac{dB}{dt}=- \frac{P_{req}}{\eta_e} \]

 

이므로

 

\[ dt= - \frac{\eta_e dB}{P_{req}} \]

 

이 된다. 전기 항공기가 비행할 수 있는 시간은 배터리가 방전하여 일정량에 도달할 때까지이므로 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ E = \int_{t_0 }^{t_1} dt = \int_{B_0 }^{B_1} - \frac{\eta_e}{P_{req}} dB \tag{2} \]

 

위 식에서 적분을 계산하기 위해서는 추력비연료소모량 및 추력과 항공기 무게 변화와의 함수 관계를 알아야 한다. 특별한 경우로서 항공기가 일정한 고도와 속도로 수평 비행을 한다고 가정하자. 그러며 다음 관계가 성립한다.

 

\[ L=W, \ \ \ T=D \]

 

여기서 \(L\) 은 양력, \(D\) 는 항력이다. 이 때 항공기 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v = \sqrt{ \frac{2W}{\rho S C_L}} \tag{3} \]

 

여기서 \(\rho\) 는 공기 밀도, \(S\) 는 항공기 기준 날개 면적, \(C_L\) 은 양력계수 이다.

 

 

그러면 식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} E &= \int_{B_0 }^{B_1} -\frac{\eta_e}{Dv} dB \\ \\ &= \int_{B_1 }^{B_0} \sqrt{ \frac{\rho S}{2} } \frac{\eta_e C_L^{3/2}}{W^{3/2} C_D} dB \end{align} \]

 

여기서 \(C_D\) 는 항력계수다. 순항 비행하는 동안 동력 효율, \(C_L\) 과 \(C_D\) 가 상수라고 가정하면 항속시간은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} E &= \sqrt{ \frac{\rho S}{2} } \frac{\eta_e C_L^{3/2} }{W^{3/2} C_D} \int_{B_1}^{B_0} dB \tag{4} \\ \\ &= \frac{\eta_e}{W^{3/2}} \sqrt{ \frac{\rho S }{2}} \frac{C_L^{3/2}}{C_D} \Delta B \end{align} \]

 

여기서 \( \Delta B= B_0-B_1\) 는 배터리 소모량이다.

위 식에 의하면 전기 항공기에서 항속시간을 최대로 만들기 위해서는 큰 동력 효율, 작은 항공기 무게, 많은 배터리 용량, 해수면 고도에서의 비행과 함께 \(\left( \frac{C_L^{3/2}}{C_D} \right)_\max \) 가 필요하다. 최대 항속시간을 계산하기 위하여 다음과 같은 항력계수 식을 고려한다.

 

\[ C_D = C_{D_0} + k C_L^2 \]

 

여기서 \(C_{D_0 }\) 는 양력이 \(0\) 일 때의 항력계수인 유해항력계수, \(k\) 는 유도양력계수이다. 그러면 \(\frac{C_L}{C_D}\) 는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \frac{C_L^{3/2}}{C_D} = \frac{C_L^{3/2}}{C_{D_0 }+kC_L^2 } \]

 

\(\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\) 의 최대값은 \(\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\) 를 \(C_L\) 로 미분한 후 \(0\) 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

\[ \frac{d(C_L^{3/2} / C_D )}{dC_L }=0= \frac{ \frac{3}{2} C_L^{1/2} (C_{D_0 }+kC_L^2)-C_L^{3/2} (2kC_L)}{ (C_{D_0 }+kC_L^2 )^2} \]

 

따라서 \(C_{D_0 }= \frac{1}{3}kC_L^2\) 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

\[ \left( \frac{C_L^{3/2}}{C_D} \right)_\max = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{k^3 C_{D_0}} \right)^{1/4} \tag{5} \]

 

위 식을 (4)에 대입하면 최대 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} E^* &= \frac{ \eta_e}{W^{3/2}} \sqrt{ \frac{\rho S}{2} } \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{k^3 C_{D_0}} \right)^{1/4} \Delta B \\ \\ &= \left( \frac{27}{1024} \right)^{1/4} \frac{ \eta_e \sqrt{\rho S} \Delta B}{C_{D_0}^{1/4} k^{3/4} W^{3/2} } \end{align} \]

 

그리고 식 (5)를 (3)에 대입하면 최대 항속시간을 위한 비행 속도를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v_E^*= \left( \frac{4kW^2}{3 \rho ^2 S^2 C_{D_0}} \right)^{1/4} \]

 

 

 

항속거리를 계산하기 위하여 미분의 연쇄법칙을 이용하면,

 

\[ \frac{dB}{dt}= \frac{dB}{ds} \frac{ds}{dt}= \frac{dB}{ds} v= - \frac{P_{req}}{\eta_e} \]

 

이므로

 

\[ ds= -v \frac{\eta_e dB}{P_{req}} \]

 

가 된다. 따라서 항속거리는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ R= \int_{s_0 }^{s_1} ds = \int_{B_0 }^{B_1} -v \frac{\eta_e dB}{P_{req}} \]

 

항속시간을 계산할 때와 동일한 가정을 한다면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} R &= \int_{B_1 }^{B_0} v \frac{\eta_e dB}{Dv} = \int_{B_1 }^{B_0} \frac{\eta_e}{D} dB \tag{6} \\ \\ &= \int_{B_1 }^{B_0} \frac{\eta_e}{D} \frac{L}{W} dB \\ \\ &= \frac{\eta_e}{W} \frac{C_L}{C_D} \Delta B \end{align} \]

 

위 식에 의하면 전기 항공기에서 항속거리를 최대로 만들기 위해서는 큰 동력 효율, 작은 항공기 무게, 많은 배터리 용량과 함께 \( \left( \frac{C_L}{C_D} \right)_\max\) 가 필요하다. \( \frac{C_L}{C_D} \) 의 최대값은 \( \frac{C_L}{C_D} \) 를 \(C_L\) 로 미분한 후 \(0\) 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

\[ \frac{d(C_L/C_D ) }{dC_L }=0= \frac{ C_{D_0 }+kC_L^2-C_L (2kC_L) }{ (C_{D_0 }+kC_L^2 )^2 } \]

 

따라서 \(C_{D_0 }=kC_L^2\) 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

\[ \left( \frac{C_L}{C_D }\right)_\max= \frac{1}{ 2 \sqrt{k C_{D_0}}} \tag{7} \]

 

위 식을 (6)에 대입하면 최대 항속거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ R^*= \frac{\eta_e \Delta B}{2W \sqrt{kC_{D_0 }}} \]

 

최대 항속거리를 위한 비행 속도는 식 (7)을 (3)에 대입하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v_R^*= \left( \frac{4kW^2}{ \rho ^2 S^2 C_{D_0}} \right)^{1/4} \]

 

 

 

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