전기 항공기의 항속시간(Endurance)과 항속거리(Range)

배터리를 동력원으로 하는 전기 항공기(electric aircraft)의 경우에는 비행시 항공기의 무게 변화가 없는 것이 특징이다.

 

 

배터리의 에너지 용량을 \(B\) 라고 하면 전력(power) \(P_B\) 는 다음과 같다.

 

\[ \frac{dB}{dt}= -P_B \tag{1} \]

 

전력이 동력 시스템에 전달되는 과정의 손실을 고려하여 동력 효율 \(\eta_e\) 를 이용하면 배터리의 출력 전력 \(P_e\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다. 동력 효율은 모터 효율과 프로펠러 효율을 따로 구분하지 않은 전체 효율로 보면 된다.

 

\[ P_e = \eta_e P_B \]

 

비행에 필요한 동력(power)을 전적으로 배터리가 제공한다면 \(P_e=P_{req}\) 가 되어야 한다. 여기서 \(P_{req}\) 는 요구 동력(required power)로서 추력(\(T\))와 항공기 비행 속도(\(v\))의 곱으로 주어진다.

 

\[ P_{req}=Tv \]

 

식 (1)에 의하면,

 

\[ \frac{dB}{dt}=- \frac{P_{req}}{\eta_e} \]

 

이므로

 

\[ dt= - \frac{\eta_e dB}{P_{req}} \]

 

이 된다. 전기 항공기가 비행할 수 있는 시간은 배터리가 방전하여 일정량에 도달할 때까지이므로 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ E = \int_{t_0 }^{t_1} dt = \int_{B_0 }^{B_1} - \frac{\eta_e}{P_{req}} dB \tag{2} \]

 

위 식에서 적분을 계산하기 위해서는 추력비연료소모량 및 추력과 항공기 무게 변화와의 함수 관계를 알아야 한다. 특별한 경우로서 항공기가 일정한 고도와 속도로 수평 비행을 한다고 가정하자. 그러며 다음 관계가 성립한다.

 

\[ L=W, \ \ \ T=D \]

 

여기서 \(L\) 은 양력, \(D\) 는 항력이다. 이 때 항공기 속도는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v = \sqrt{ \frac{2W}{\rho S C_L}} \tag{3} \]

 

여기서 \(\rho\) 는 공기 밀도, \(S\) 는 항공기 기준 날개 면적, \(C_L\) 은 양력계수 이다.

 

 

그러면 식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} E &= \int_{B_0 }^{B_1} -\frac{\eta_e}{Dv} dB \\ \\ &= \int_{B_1 }^{B_0} \sqrt{ \frac{\rho S}{2} } \frac{\eta_e C_L^{3/2}}{W^{3/2} C_D} dB \end{align} \]

 

여기서 \(C_D\) 는 항력계수다. 순항 비행하는 동안 동력 효율, \(C_L\) 과 \(C_D\) 가 상수라고 가정하면 항속시간은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ \begin{align} E &= \sqrt{ \frac{\rho S}{2} } \frac{\eta_e C_L^{3/2} }{W^{3/2} C_D} \int_{B_1}^{B_0} dB \tag{4} \\ \\ &= \frac{\eta_e}{W^{3/2}} \sqrt{ \frac{\rho S }{2}} \frac{C_L^{3/2}}{C_D} \Delta B \end{align} \]

 

여기서 \( \Delta B= B_0-B_1\) 는 배터리 소모량이다.

위 식에 의하면 전기 항공기에서 항속시간을 최대로 만들기 위해서는 큰 동력 효율, 작은 항공기 무게, 많은 배터리 용량, 해수면 고도에서의 비행과 함께 \(\left( \frac{C_L^{3/2}}{C_D} \right)_\max \) 가 필요하다. 최대 항속시간을 계산하기 위하여 다음과 같은 항력계수 식을 고려한다.

 

\[ C_D = C_{D_0} + k C_L^2 \]

 

여기서 \(C_{D_0 }\) 는 양력이 \(0\) 일 때의 항력계수인 유해항력계수, \(k\) 는 유도양력계수이다. 그러면 \(\frac{C_L}{C_D}\) 는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \frac{C_L^{3/2}}{C_D} = \frac{C_L^{3/2}}{C_{D_0 }+kC_L^2 } \]

 

\(\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\) 의 최대값은 \(\frac{C_L^{3/2}}{C_D}\) 를 \(C_L\) 로 미분한 후 \(0\) 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

\[ \frac{d(C_L^{3/2} / C_D )}{dC_L }=0= \frac{ \frac{3}{2} C_L^{1/2} (C_{D_0 }+kC_L^2)-C_L^{3/2} (2kC_L)}{ (C_{D_0 }+kC_L^2 )^2} \]

 

따라서 \(C_{D_0 }= \frac{1}{3}kC_L^2\) 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

\[ \left( \frac{C_L^{3/2}}{C_D} \right)_\max = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{k^3 C_{D_0}} \right)^{1/4} \tag{5} \]

 

위 식을 (4)에 대입하면 최대 항속시간은 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ \begin{align} E^* &= \frac{ \eta_e}{W^{3/2}} \sqrt{ \frac{\rho S}{2} } \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{k^3 C_{D_0}} \right)^{1/4} \Delta B \\ \\ &= \left( \frac{27}{1024} \right)^{1/4} \frac{ \eta_e \sqrt{\rho S} \Delta B}{C_{D_0}^{1/4} k^{3/4} W^{3/2} } \end{align} \]

 

그리고 식 (5)를 (3)에 대입하면 최대 항속시간을 위한 비행 속도를 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v_E^*= \left( \frac{4kW^2}{3 \rho ^2 S^2 C_{D_0}} \right)^{1/4} \]

 

 

 

항속거리를 계산하기 위하여 미분의 연쇄법칙을 이용하면,

 

\[ \frac{dB}{dt}= \frac{dB}{ds} \frac{ds}{dt}= \frac{dB}{ds} v= - \frac{P_{req}}{\eta_e} \]

 

이므로

 

\[ ds= -v \frac{\eta_e dB}{P_{req}} \]

 

가 된다. 따라서 항속거리는 다음과 같이 계산된다.

 

\[ R= \int_{s_0 }^{s_1} ds = \int_{B_0 }^{B_1} -v \frac{\eta_e dB}{P_{req}} \]

 

항속시간을 계산할 때와 동일한 가정을 한다면 위 식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} R &= \int_{B_1 }^{B_0} v \frac{\eta_e dB}{Dv} = \int_{B_1 }^{B_0} \frac{\eta_e}{D} dB \tag{6} \\ \\ &= \int_{B_1 }^{B_0} \frac{\eta_e}{D} \frac{L}{W} dB \\ \\ &= \frac{\eta_e}{W} \frac{C_L}{C_D} \Delta B \end{align} \]

 

위 식에 의하면 전기 항공기에서 항속거리를 최대로 만들기 위해서는 큰 동력 효율, 작은 항공기 무게, 많은 배터리 용량과 함께 \( \left( \frac{C_L}{C_D} \right)_\max\) 가 필요하다. \( \frac{C_L}{C_D} \) 의 최대값은 \( \frac{C_L}{C_D} \) 를 \(C_L\) 로 미분한 후 \(0\) 으로 놓으면 구할 수 있다.

 

\[ \frac{d(C_L/C_D ) }{dC_L }=0= \frac{ C_{D_0 }+kC_L^2-C_L (2kC_L) }{ (C_{D_0 }+kC_L^2 )^2 } \]

 

따라서 \(C_{D_0 }=kC_L^2\) 일 때 최대가 되며 그 값은 다음과 같다.

 

\[ \left( \frac{C_L}{C_D }\right)_\max= \frac{1}{ 2 \sqrt{k C_{D_0}}} \tag{7} \]

 

위 식을 (6)에 대입하면 최대 항속거리는 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ R^*= \frac{\eta_e \Delta B}{2W \sqrt{kC_{D_0 }}} \]

 

최대 항속거리를 위한 비행 속도는 식 (7)을 (3)에 대입하면 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

\[ v_R^*= \left( \frac{4kW^2}{ \rho ^2 S^2 C_{D_0}} \right)^{1/4} \]