벡터 함수를 벡터로 미분하기 : 자코비안

벡터 $\mathbf{x}={\left[\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& ...& x_n\end{array}\right]}^T$ 의 구성요소를 변수로 하는 다변수 스칼라 함수 $f(x_1,x_2,\dots ,x_n)$ 을 간단히 $f(\mathbf{x})$ 로 표기했다. 동일한 벡터를 변수로 갖는 스칼라 함수가 여럿 있다면 $f(\mathbf{x})$, $g(\mathbf{x})$, $h(\mathbf{x})$, $...$ 이렇게 구별할 수 있을 것이다.

그런데 함수가 많다면 함수 이름으로 사용할 알파벳이 동날 것이므로, 보통 함수에 아래 첨자를 써서 그 함수들을 구별한다. 만약 스칼라 함수가 $m$ 개 있다면, $f_1(\mathbf{x})$, $f_2(\mathbf{x})$, $...$, $f_m(\mathbf{x})$ 로 표기한다. 아래 첨자가 다르면 서로 다른 함수다.

벡터 함수는 2개 이상의 스칼라 함수를 구성요소로 하는 벡터를 말한다. 벡터 $\mathbf{x}$ 를 변수로 하는 벡터 함수를 $\mathbf{f}(\mathbf{x})$로 표기한다.

 

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(\mathbf{x})\\ f_2(\mathbf{x})\\ ⋮\\ f_m(\mathbf{x})\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x_1,x_2,...,x_n)\\ f_2(x_1,x_2,...,x_n)\\ ⋮\\ f_m(x_1,x_2,...,x_n)\end{array}\right]$$

 

이렇게 표기하면 다변수-다함수가 마치 변수가 한 개, 함수도 한 개인 단변수-단함수인 것처럼 보기가 편해진다.

다음은 벡터 함수의 예다. 극좌표계 $(r,\theta )$를 직교 좌표계 $(x,y)$로 바꾸는 벡터 함수다.

 

$$\mathbf{f}(\mathbf{x})=\left[\begin{array}{c}{f}_1(r,\theta )\\ f_2(r,\theta )\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}r\cos \theta \\ r\sin \theta \end{array}\right]$$

 

여기서 $\mathbf{x}=\left[\begin{array}{c}r\\ \theta \end{array}\right]$ 이고, $f_1=x$, $f_2=y$ 이다.

 

 

벡터 함수 $\mathbf{f}$ 를 벡터 $\mathbf{x}$ 에 대해 미분한다는 표기인 $\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}$ 는 다음과 같이 정의한다.

 

$$\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_1}\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_1}{\partial x_n}& \frac{\partial f_2}{\partial x_n}& \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}\end{array}\right]$$

 

정의에 의하면 $\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}$ 는 열의 개수가 $m$ , 행의 개수가 $n$ 인 행렬이다. $m$ 은 스칼라 함수의 개수, $n$ 은 벡터의 구성요소 개수다. 벡터 함수의 벡터 미분인 $\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}$ 를 자코비안 행렬(Jacobian matrix)이라고 한다.

자코비안 행렬의 정의를 보면 행렬의 첫번째 열은 첫번째 스칼라 함수 $f_1$ 의 그래디언트, 두번째 열은 두번째 스칼라 함수 $f_2$ 의 그래디언트인 것을 알 수 있다. 이와 같이 자코비안 행렬의 $j$ 번째 열은 $j$ 번째 스칼라 함수 $f_j$ 의 그래디언트이다.

책이나 논문에 따라서는 행과 열을 바꾸어서 자코비안을 정의하기도 한다. 쓰임새에 따라서 장단점이 있으니 둘 중 하나의 정의를 선택한 후 일관성 있게 사용하면 된다.

예를 들어 보자. 극좌표계 $(r,\theta )$ 를 직교 좌표계 $(x,y)$ 로 바꾸는 벡터 함수의 자코비안 행렬 $\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}$ 는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\frac{d\mathbf{f}}{d\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{cc}\frac{\partial f_1}{\partial r}& \frac{\partial f_2}{\partial r}\\ \frac{\partial f_1}{\partial \theta }& \frac{\partial f_2}{\partial \theta }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right]$$