벡터 항등식과 벡터 미분 항등식

먼저 쓸모가 많은 벡터 항등식 4개를 소개한다. 필요할 때 참고하면 된다. 증명은 복잡하긴 해도 어렵진 않다. 여기서 모든 벡터는 3차원 벡터이다.

 

$$\begin{array}{rl}& \mathbf{a}\cdot (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=\mathbf{b}\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{a})=\mathbf{c}\cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\\ \\ & \mathbf{a}\times (\mathbf{b}\times \mathbf{c})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})\mathbf{c}\\ \\ & (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot (\mathbf{c}\times \mathbf{d})=(\mathbf{a}\cdot \mathbf{c})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{d})-(\mathbf{a}\cdot \mathbf{d})(\mathbf{b}\cdot \mathbf{c})\\ \\ & (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times (\mathbf{c}\times \mathbf{d})=((\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{d})\mathbf{c}-((\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot \mathbf{c})\mathbf{d}\end{array}$$ \]

 

 

다음으로 많이 사용되는 벡터의 미분 항등식이다.

 

$$\begin{array}{rl}& \mathrm{\nabla }\times (\nabla f)=0\\ \\ & \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{a})=0\end{array}$$

 

여기서 $f(x,y,z)$ 인 스칼라 함수이고,

 

$$\begin{array}{r}\nabla =\frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i}+\frac{\partial }{\partial y}\mathbf{j}+\frac{\partial }{\partial z}\mathbf{k}\end{array}$$

 

이며 $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 는 직교 좌표계의 각 축방향의 단위벡터이다.

 

 

이 밖에 다음 항등식들이 가끔 쓰인다.

 

$$\begin{array}{rl}& \nabla \cdot (f\mathbf{a})=\nabla f\cdot \mathbf{a}-f\nabla \cdot \mathbf{a}\\ \\ & \nabla \times (f\mathbf{a})=\nabla f\times \mathbf{a}+f\nabla \times \mathbf{a}\\ \\ & \nabla (\mathbf{a}\cdot \mathbf{b})=(\mathbf{a}\cdot \nabla )\mathbf{b}+(\mathbf{b}\cdot \nabla )\mathbf{a}+\mathbf{a}\times (\nabla \times \mathbf{b})+\mathbf{b}\times (\nabla \times \mathbf{a})\\ \\ & \nabla \cdot (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=\mathbf{b}\cdot (\nabla \times \mathbf{a})-\mathbf{a}\cdot (\nabla \times \mathbf{b})\\ \\ & \nabla \times (\nabla \times \mathbf{a})=\nabla (\nabla \cdot \mathbf{a})-{\nabla }^2\mathbf{a}\\ \\ & \nabla \times (\mathbf{a}\times \mathbf{b})=(\nabla \cdot \mathbf{b})\mathbf{a}-(\nabla \cdot \mathbf{a})\mathbf{b}+(\mathbf{b}\cdot \nabla )\mathbf{a}-(\mathbf{a}\cdot \nabla )\mathbf{b}\end{array}$$