심플렉틱 행렬 (Symplectic Matrix)

심플렉틱 행렬(symplectic matrix)은 다음식을 만족하는 정사각형 행렬 \( M \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}\) 으로 정의한다.

 

\[ M^T JM=J \tag{1} \]

여기서

\[ J= \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix} \]

 

이고 \(I_n\) 은 \(n \times n\) 단위행렬이다.

심플렉틱 행렬은 다음과 같은 몇가지 특징을 갖는다.

첫째 심플렉틱 행렬의 행렬식(determinant)은 항상 \(1\) 이다. 증명은 다음과 같다. 식 (1)에서

 

\[ \begin{align} \det ⁡J = 1 &= \det⁡(M^T ) \det⁡ J \det⁡ M \tag{2} \\ \\ &=(\det ⁡M )^2 \end{align} \]

 

이므로 \(\det ⁡M= \pm 1\) 이다. 그런데 여기서 \(\det ⁡M=1\) 만 유효한데 이유는 다음과 같다. 먼저 다음 행렬을 보자.

 

\[ M^T M+I_{2n} \tag{3} \]

 

여기서 \(M^T M \gt 0\) 이므로 위 행렬의 고유값(eigenvalue)은 \(1\) 보다 크다. 행렬식은 모든 고유값을 곱한 것과 같으므로 \(\det (M^T M+I_{2n}) \gt 1\) 이 성립한다. 한편

 

\[ M^T M+I_{2n}=M^T (M+M^{-T} )=M^T (M+JMJ^{-1}) \tag{4} \]

 

인데, 여기서 \(M+JMJ^{-1}\) 를 다음과 같이 분해할 수 있다.

 

\[ \begin{align} M + JMJ^{-1} &= \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{bmatrix} \tag{5} \\ \\ &= \begin{bmatrix} M_{11}+M_{22} & M_{12}-M_{21} \\ -M_{12}+M_{21} & M_{11}+M_{22}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C & D \\ -D & C \end{bmatrix} \\ \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_n & I_n \\ jI_n & -jI_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix}C+jD & 0 \\ 0 & C-jD \end{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} I_n & -jI_n \\ I_n & jI_n \end{bmatrix} \end{align} \]

 

따라서 식 (4)에서

 

\[ \begin{align} 1 & \lt \det (M^T M+I_{2n} )= \det (M^T (M+JMJ^{-1} )) \tag{6} \\ \\ &= \det M \det (C+jD) \det (C-jD) \\ \\ & = \det M \ \lvert \det⁡(C+jD) \rvert^2 \end{align} \]

 

이 된다. 여기서 \(| \det ⁡(C+jD) |^2 \gt 0\) 이므로 \(\det⁡ M \gt 0\) 이다. 따라서 \(\det M =1\) 이어야 한다.

둘째, 심플렉틱 행렬 \(M\) 의 역행렬은 \(M^{-1}=-JM^T J\) 이다. 증명은 다음과 같다. 우선 \(\det M=1\) 이므로 행렬 \(M\) 의 역행렬이 존재한다. 그리고 \(J^{-1}=-J\) 이므로, 식 (1)에서

 

\[ \begin{align} & M^{-1} J^{-1} M^{-T}=J^{-1} \tag{7} \\ \\ \to \ \ & M^{-1} JM^{-T}=J \\ \\ \to \ \ & M^{-1}=JM^T J^{-1}=-JM^T J \end{align} \]

 

가 된다.

세번째 특징은 \(\lambda\) 이 \(M\) 의 고유값이면, \(\lambda^{-1} , \ \bar{\lambda} , \ \bar{\lambda}^{-1}\) 도 같은 다중도(multiplicity)를 갖는 \(M\) 의 고유값이라는 것이다.

 

 

행렬 \(M\) 의 특성방정식을 \(p(\lambda)\) 로 표시하면,

 

\[ \begin{align} p(\lambda) &= \det (M-\lambda I_{2n} )= \det \left( J(M-\lambda I_{2n} ) J^{-1} \right) \tag{8} \\ \\ &= \det (M^{-T}- \lambda I_{2n} )= \det (M^{-1}-\lambda I_{2n} ) \\ \\ &= \det \left( M^{-1} (I_{2n}- \lambda M) \right) = \det M^{-1} \det (I_{2n}- \lambda M) \\ \\ &= \det (I_{2n}- \lambda M) = \det \left( - \lambda \left( M-\frac{1}{\lambda} I_{2n} \right) \right) \\ \\ &= \lambda^{2n} \det⁡ \left( M- \frac{1}{\lambda} I_{2n} \right) \\ \\ &= \lambda^{2n} \ p \left( \frac{1}{\lambda} \right) \end{align} \]

 

이 된다. 여기서 \(\det J=1, \ \det M=1, \ \lambda \ne 0\) 임을 이용하였다. 따라서 \(\lambda\) 가 고유값이면 \(\lambda^{-1}\) 도 고유값이라는 결과가 나온다. 또한 특성방정식의 계수는 실수이므로 \(\lambda\) 가 고유값이면 켤레 복소수 \(\bar{\lambda}\) 도 고유값이다.