심플렉틱 행렬 (Symplectic Matrix)

심플렉틱 행렬(symplectic matrix)은 다음식을 만족하는 정사각형 행렬 $M\in {\mathbb{R}}^{2n\times 2n}$ 으로 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& M^{T}JM=J\end{array}$$

여기서

$$J=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$$

 

이고 $I_n$ 은 $n\times n$ 단위행렬이다.

심플렉틱 행렬은 다음과 같은 몇가지 특징을 갖는다.

첫째 심플렉틱 행렬의 행렬식(determinant)은 항상 $1$ 이다. 증명은 다음과 같다. 식 (1)에서

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& detJ=1& =det(M^T)detJdetM\\ & =(detM{)}^2\end{array}$$

 

이므로 $detM=\pm 1$ 이다. 그런데 여기서 $detM=1$ 만 유효한데 이유는 다음과 같다. 먼저 다음 행렬을 보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& M^{T}M+I_{2n}\end{array}$$

 

여기서 $M^{T}M>0$ 이므로 위 행렬의 고유값(eigenvalue)은 $1$ 보다 크다. 행렬식은 모든 고유값을 곱한 것과 같으므로 $det(M^{T}M+I_{2n})>1$ 이 성립한다. 한편

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& M^{T}M+I_{2n}=M^T(M+M^{-T})=M^T(M+JM{J}^{-1})\end{array}$$

 

인데, 여기서 $M+JM{J}^{-1}$ 를 다음과 같이 분해할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& M+JM{J}^{-1}& =\left[\begin{array}{cc}{M}_{11}& M_{12}\\ M_{21}& M_{22}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{M}_{11}& M_{12}\\ M_{21}& M_{22}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0& -I_n\\ I_n& 0\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{M}_{11}+M_{22}& M_{12}-M_{21}\\ -M_{12}+M_{21}& M_{11}+M_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}C& D\\ -D& C\end{array}\right]\\ \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}{I}_n& I_n\\ j{I}_n& -j{I}_n\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}C+jD& 0\\ 0& C-jD\end{array}\right]\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{cc}{I}_n& -j{I}_n\\ I_n& j{I}_n\end{array}\right]\end{array}$$

 

따라서 식 (4)에서

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& 1& <det(M^{T}M+I_{2n})=det(M^T(M+JM{J}^{-1}))\\ & =detMdet(C+jD)det(C-jD)\\ \\ & =detM|det(C+jD){|}^2\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 $|det(C+jD){|}^2>0$ 이므로 $detM>0$ 이다. 따라서 $detM=1$ 이어야 한다.

둘째, 심플렉틱 행렬 $M$ 의 역행렬은 $M^{-1}=-J{M}^{T}J$ 이다. 증명은 다음과 같다. 우선 $detM=1$ 이므로 행렬 $M$ 의 역행렬이 존재한다. 그리고 $J^{-1}=-J$ 이므로, 식 (1)에서

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& & M^{-1}{J}^{-1}{M}^{-T}=J^{-1}\\ \to & M^{-1}J{M}^{-T}=J\\ \\ \to & M^{-1}=J{M}^T{J}^{-1}=-J{M}^{T}J\end{array}$$

 

가 된다.

세번째 특징은 $\lambda$ 이 $M$ 의 고유값이면, ${\lambda }^{-1},\overline{\lambda },{\overline{\lambda }}^{-1}$ 도 같은 다중도(multiplicity)를 갖는 $M$ 의 고유값이라는 것이다.

 

 

행렬 $M$ 의 특성방정식을 $p(\lambda )$ 로 표시하면,

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& p(\lambda )& =det(M-\lambda I_{2n})=det(J(M-\lambda I_{2n})J^{-1})\\ & =det(M^{-T}-\lambda I_{2n})=det(M^{-1}-\lambda I_{2n})\\ \\ & =det(M^{-1}(I_{2n}-\lambda M))=det{M}^{-1}det(I_{2n}-\lambda M)\\ \\ & =det(I_{2n}-\lambda M)=det(-\lambda (M-\frac{1}{\lambda }{I}_{2n}))\\ \\ & ={\lambda }^{2n}det(M-\frac{1}{\lambda }{I}_{2n})\\ \\ & ={\lambda }^{2n}p\left(\frac{1}{\lambda }\right)\end{array}$$

 

이 된다. 여기서 $detJ=1,detM=1,\lambda \ne 0$ 임을 이용하였다. 따라서 $\lambda$ 가 고유값이면 ${\lambda }^{-1}$ 도 고유값이라는 결과가 나온다. 또한 특성방정식의 계수는 실수이므로 $\lambda$ 가 고유값이면 켤레 복소수 $\overline{\lambda }$ 도 고유값이다.