[CNN] 컨볼루션 쉽게 계산하기

일반적으로 많이 쓰이는 ‘뒤집기와 이동’ 방법을 사용하여 컨볼루션을 계산해 보자.

공식을 잘 살펴보면,

 

$$y[n]=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}h[n-k]x[k]$$

 

우선 $x[n]$과 $h[n]$을 $x[k]$와 $h[k]$로 바꿔야 한다는 것을 알 수 있다. 그리고, $h[k]$를 뒤집어서 $h[-k]$로 만든 후, $n$만큼 이동시켜서 $h[n-k]$를 만든 후, $k$에 대해서 $x[k]$와 $h[n-k]$를 곱한 다음, $k$에 대해서 $h[n-k]x[k]$를 모두 더하면 $y[n]$을 계산할 수 있다는 것을 알 수 있다. 그리고, 모든 $n$에 대해서 위 과정을 반복하면 된다.

 

 

그럼 해 보자.

다음과 같이 임펄스 반응과 입력 신호가 있다고 하자.

 

 

$h[n]$과 $x[n]$을 $h[k]$와 $x[k]$로 바꾼다.

 

 

$h[k]$를 뒤집고 이동시켜서 $h[n-k]$를 만든다.

 

 

$n=0$에서 $k$에 대해서 $x[k]$와 $h[n-k]$를 곱하고 더한다.

 

 

$n=1$에서 $k$에 대해서 $x[k]$와 $h[n-k]$를 곱하고 더한다.

 

 

$n=2$에서 $k$에 대해서 $x[k]$와 $h[n-k]$를 곱하고 더한다.

 

 

이런 식으로 $h[n-k]$가 $x[k]$영역을 빠져나갈 때까지 계속 반복한다.

$n=7$에서는,

 

 

$n=8$에서는 $h[n-k]$가 $x[k]$영역을 완전히 빠져나간다.

 

 

컨볼루션 계산 결과는 동일하다. 하지만 '뒤집기와 이동' 방법이 이해하기는 쉽다.

정리하면 다음과 같다.

입력 신호와 임펄스 응답이 다음과 같을 때,

 

 

컨볼루션은 다음과 같이 $h[n]$을 뒤집어서

 

 

$x[n]$영역의 처음부터 빠져나갈 때까지$h[n]$을 이동하며 겹치는 부분을 곱셈과 덧셈을 반복하여 계산한다.