LTI 시스템 – 시불변

이번에는 시불변(time-invariant) 시스템이 무엇인지 알아보자. 시불변 시스템은 시스템의 입력 싯점에 따라 시스템의 출력이 바뀌지 않는 시스템을 말한다. 예를 들어서 ‘어제’ A라는 패턴을 갖는 신호를 시스템에 입력으로 주었더니 B라는 출력 신호가 나왔다고 했을 때, ‘오늘’ 동일한 A라는 입력 신호를 시스템에 가했더니 '어제'와 동일한 B라는 출력 신호가 나왔다면 그 시스템은 시불변 시스템이다. 만약 ‘어제’와 동일한 입력 A에 대해서 ‘오늘’은 C라는 출력이 나왔다면 시변(time-varying) 시스템이라고 한다.

 

 

시불변 시스템을 수식으로 표현하면 다음과 같다.

 

\( y[n] = \mathbb{F}(x[n]) \) 일 때,

\( y[n-n_0] = \mathbb{F}(x[n-n_0]) \) 이면,

\( \mathbb{F} \) 는 시불변 시스템이다.

 

즉 입력을 \( n_0 \)만큼 시프트(shift)시켰더니 출력도 \( n_0 \)만큼 시프트되서 나왔다면 시불변 시스템이다. 입력 신호를 오른쪽으로 \( n_0 \)만큼 시프트시킨 신호는 \( x[n-n_0] \)이다. 시간적으로 늦어진 것이므로 지연 신호라고 한다. 입력 신호를 왼쪽으로 \( n_0 \)만큼 시프트시킨 신호는 \( x[n+n_0] \)이다. 시간적으로 선행된 것이므로 선행 신호라고 한다.

시불변 시스템을 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

 

위 그림에서 첫번째 그림은 입력 \( x[n] \)을 시스템에 가했을 때 출력 \( y[n] \)이 나온 것을 말해준다. 두번째 그림은 입력 \( x[n] \)을 두 시간스텝 만큼 지연시켜서 시스템에 가했을 때 출력도 두 시간스텝 만큼 지연된 \( y[n-2] \)이 나온 것을 보여준다. 따라서 이 시스템은 시불변 시스템이다. 만약 세번째 그림처럼 입력 \( x[n] \)을 두 시간스텝 만큼 지연시켜서 시스템에 가했더니 전혀 다른 출력이 나왔다면 이 시스템은 시변 시스템인 것이다.

 

시불변 시스템인지 아닌지는 다음 그림의 방법으로 판별할 수 있다.

 

 

 

위 그림의 위 쪽은 시스템에 \( n_0 \)만큼 지연된 입력 \( x[n-n_0] \)을 인가한 것이다. 그랬더니 출력으로 \( w[n] \)이 나왔다. 아래 쪽은 시스템에 원래의 입력 \( x[n] \)을 인가해서 출력이 \( y[n] \)이 나왔는데 이 출력을 \( n_0 \)만큼 지연시킨 것이다. 여기서 만약 \( w[n] = y[n-n_0] \)이라면 시스템은 시불변이다.

그럼 시스템 \( y[n] = x[n] - x[n-1] \)이 시불변인지 알아보자. 그림의 방법대로 하면,

 

\[ \begin{align} w[n] &= x[n-n_0] - x[n-n_0-1] \ , \\ \\ y[n-n_0] &= x[n-n_0] - x[n-n_0-1] \end{align} \]

 

이므로 \( w[n] = y[n-n_0] \)이다. 따라서 이 시스템은 시불변이다.

이번에는 시스템 \( y[n] = a[n] x[n] - x[n-1] \)이 시불변인지 알아보자. 이 시스템과 앞의 시스템의 차이는 \( x[n] \)에 시간 함수인 파라미터 \( a[n] \)이 곱해졌다는 것이다. 그림의 방법대로 하면,

 

\[ \begin{align} w[n] &= a[n] x[n-n_0] - x[n-n_0-1] \ , \\ \\ y[n-n_0] &= a[n-n_0] x[n-n_0] - x[n-n_0-1] \end{align} \]

 

이므로 \( w[n] \ne y[n-n_0] \)이다. 따라서 이 시스템은 시변 시스템이다.

선형이면서 시불변 시스템을 LTI 시스템이라고 한다. 다음 포스트에서는 LTI 시스템과 컨볼루션이 어떻게 연결되는지 알아보겠다.