분류 전체보기324 [Continuous-Time] 무한구간 (Infinite-horizon) LQR 다음과 같은 선형 시스템과 \[ \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어진 목적함수가 있을 때, \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q \mathbf{x}+ \mathbf{u}^T R \mathbf{u} \right) \ dt \tag{2} \] 목적함수를 최소화하는 최종자유상태 LQR (free-final-state linear quadratic regulator) 문제의 해는 다음과 같이 주어진다 (https://pasus.tis.. 2023. 12. 21. [Continuous-Time] 자유최종상태 (Free-final-state) LQR 다음과 같은 선형 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A(t) \mathbf{x}+B(t) \mathbf{u} \tag{1} \] 이 시스템의 초기 시간 \(t_0\) 와 초기 상태변수 \(\mathbf{x}(t_0)\) 는 주어졌다고 가정한다. 또한 최종 시간 \(t_f\) 도 주어졌다고 가정한다. 하지만 최종 상태변수에 관한 제약조건이 없다고 가정한다. 이 시스템의 목적함수도 다음과 같이 고정된 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어졌다고 하자. \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q(t) \mathbf{x.. 2023. 12. 19. 램버트 문제 (Lambert’s problem)의 해 램버트 문제(Lambert's problem)는 이름에서 알 수 있듯이 18세기 수학자 Johann Heinrich Lambert에 의해 처음 제기된 문제다. 그는 이 문제를 해결하기 위해 램버트의 정리(https://pasus.tistory.com/315)를 고안하였다. 참고로 램버트 정리의 증명은 라그랑지(Lagrange)가 하였고 램버트 문제의 해를 처음으로 구한 사람은 가우스(Gauss)였다. 램버트 문제는 기본적으로 두 지점 사이를 비행하는 데 걸리는 시간이 주어졌을 때, 두 지점 사이를 연결하는 궤도를 찾는 것이다. 수학적으로 램버트 문제는 이체문제(two-body problem)에서 유도된 기본 궤도 미분 방정식에 대한 2점 경계값 문제(TPBVP, two-point boundary valu.. 2023. 12. 10. 램버트 정리 (Lambert’s theorem) 램버트(Lambert)는 궤도 운동을 하는 물체에 대한 두 지점 사이의 비행시간(time of flight)은 두 지점까지의 거리의 합, 두 지점을 직선으로 연결한 코드(chord) 길이, 궤도의 장반경만의 함수가 아닐까 생각했다. 나중에 라그랑지에 의해서 증명된 이 내용을 램버트 정리(Lambert's theorem)라고 한다. 램버트 정리는 케플러 방정식에서 도출할 수 있으며, 둘은 비슷한 문제를 푸는 관계라고 볼 수 있다. 케플러 방정식의 경우와 마찬가지로 램버트의 정리도 타원, 포물선, 쌍곡선의 세 가지 경우로 나뉜 램버트 방정식으로 표현되는데 수학적인 형식은 다음과 같다. \[ t_2-t_1=f(r_1+r_2, c, a) \tag{1} \] 여기서 \(r_1, r_2\) 는 궤도의 촛점(지구 중.. 2023. 12. 6. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 5 타원궤도, 포물선궤도, 쌍곡선궤도의 케플러 방정식을 이용하여 케플러 문제 (Kepler's problem)를 풀어보았는데(https://pasus.tistory.com/313). 이번에는 범용(universal) 케플러 방정식을 이용하여 케플러 문제를 풀어보도록 하겠다. 범용 케플러 방정식은 다음과 같았다. (https://pasus.tistory.com/310). \[ \begin{align} \sqrt{\mu} (t-t_0 )=S(z) \chi^3+ \frac{ \vec{r}_0 \cdot \vec{v}_0}{\sqrt{\mu}} \chi^2 C(z)+r_0 \chi \left( 1-zS(z) \right) \tag{1} \end{align} \] 여기서 \(z= \frac{\chi^2}{a}\) 이.. 2023. 12. 2. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 4 우주비행체의 비행시간과 실제 비행각과의 함수 관계를 다루는 문제를 케플러 문제 (Kepler's problem)라고 한다. 케플러 문제는 비행시간(time of flight) 계산 문제와 예측(prediction) 문제로 나눌 수 있다. 비행시간 계산 문제는 시간 \(t=t_0\) 에서 실제 비행각(true anomaly) \(\theta_0\)가 주어졌을 때 비행각이 \(\Delta \theta\) 만큼 변화하기까지 필요한 비행시간 \(t-t_0\) 을 계산하는 문제다. 예측 문제는 비행시간 계산 문제의 역으로서 시간 \(t=t_0\) 에서 실제 비행각 \( \theta_0\) 과 비행시간 \(t-t_0\) 이 주어졌을 때 실제 비행각 \(\theta (t)\) 를 계산하는 문제다. 이전 게시글을 통해.. 2023. 12. 1. 라그랑지 계수 (Lagrange coefficients) - 2 라그랑지 계수(Langrange coefficients)를 실제 비행각(true anomaly)의 변화량 \(\Delta \theta\) 의 함수로 표현했는데(https://pasus.tistory.com/311), 이를 범용변수(universal variable) \(\chi\) 의 함수로 표현할 수도 있다. 라그랑지 계수는 궤도중심좌표계(perifocal frame)의 각 축 성분을 이용하여 다음과 같이 계산했었다. \[ \begin{align} f &= \frac{x\dot{y}_0-y\dot{x}_0}{h}, \ \ \ \ \ g= \frac{-xy_0+yx_0}{h} \tag{1} \\ \\ \dot{f} &= \frac{\dot{x} \dot{y}_0- \dot{y} \dot{x}_0}{h},.. 2023. 11. 30. 라그랑지 계수 (Lagrange coefficients) - 1 어느 우주비행체의 초기 위치벡터 \(\vec{r}_0\) 와 속도벡터 \(\vec{v}_0\) 가 주어졌을 때, 실제 비행각(true anomaly)이 \(\Delta \theta\) 만큼 변화한 후, 변화된 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}, \vec{v}\) 를 초기 위치벡터 및 속도벡터, 그리고 \(\Delta \theta\) 의 함수로 표현하고자 한다. 우주비행체는 궤도면(orbital plane) 상에서만 운동하므로(https://pasus.tistory.com/96) 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}, \vec{v}\) 는 항상 궤도면 상에 존재한다. 따라서 임의의 시간에서의 위치벡터와 속도벡터는 초기 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}_0, \vec{v}_0\) 의 선형 조합으로 표.. 2023. 11. 27. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 3 비행시간(time of flight)을 계산할 수 있는 케플러 방정식(Kepler's equation)은 \(e \approx 1\) 근방에서 계산 정확도가 크게 저하된다. 특히 \(E\) 가 \(0\) 에 가까우면 \(M_e=E-e \sin E \approx E-E=0\) 이 되므로 계산 결과의 신뢰도가 떨어진다. 또한 케플러 방정식은 궤도의 모양에 따라서 다른 방정식을 사용해야 하는 불편함이 따른다. 이러한 두 가지 단점을 극복하고자 새로운 변수를 도입한 케플러 방정식이 개발되었다. 이 방정식은 모든 궤도에 대해서 유효한 범용 방정식이다. 이 방정식을 유도해 보자. 역학적 에너지(https://pasus.tistory.com/173) \(\mathcal{E}\) 의 정의로부터 시작한다. \[ \mat.. 2023. 11. 25. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 2 타원궤도와 비슷한 방법으로 이번에는 쌍곡선궤도의 케플러 문제를 풀어보자. 원점이 두 초점 사이의 중간에 있는 직교 좌표계에서 쌍곡선 방정식을 표현하면 다음과 같다. \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \tag{1} \] 한편 이전 게시글(https://pasus.tistory.com/171)에서 쌍곡선 방정식을 극좌표계로 다음과 같이 표현한 바 있다. \[ r= \frac{a(e^2-1)}{1+e \cos \theta }, \ \ \ \ \ a \gt 0, \ \ \ e \gt 1 \tag{2} \] 위 그림에 나와있는 것처럼 \(x\) 는 다음과 같다. \[ \begin{align} x &= -a-r_p+r \cos \theta \tag{3} \\ \\ &=-a-a(.. 2023. 11. 22. 이전 1 2 3 4 5 ··· 33 다음
