분류 전체보기350 [Continuous-Time] 밸런싱 변환을 이용한 모델 차원 축소 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align}\dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 이 LTI 시스템은 제어가능(controllable)하고 관측가능(observable)하며 안정(stable)하다고 가정한다. 그러면 이 시스템의 무한 제어가능성 그래미안(infi.. 2024. 8. 8. [Continuous-Time] 관측가능성과 제어가능성의 관계 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align}\] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 주요 제어가능성(controllability) 정리의 의하면 시스템 \((A, B)\) 가 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 제어가능성 행렬 \(Q_c\) 의 랭크(rank)가 \(n\) .. 2024. 8. 1. [Continuous-Time] 관측가능성 (Observability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력, \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q \) 는 제어입력이다. 만약 미지의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 에 대해 시간 범위 \(t \in [0, \ t_1]\) 에서의 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(.. 2024. 7. 31. [Continuous-Time] 최소에너지 제어와 그래미안 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 방정식 (1)의 해는 다음과 같다. \[ \mathbf{x}(t)=e^{At} \mathbf{x}(0)+ \int_0^t e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}(\tau) \ d \tau \tag{2} \] 이 시스템이 제어가능(controllable)하다면 유한 시간 \(t_1 \lt \infty\) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)= \mathbf{x}.. 2024. 7. 29. [Continuous-Time] 제어가능성 그래미안 시스템 \((A, B)\) 의 제어가능성 그래미안(controllability gramian) \(W_c\) 는 다음과 같이 정의한다 (참고로 여러 문헌을 보면 그래미안을 grammian 으로 표기 한 것도 있고 gramian 으로 표기 한 것도 있다). \[ W_c (t)= \int_0^t e^{A \tau} BB^T e^{A^T \tau} \ d \tau \tag{1} \] 시스템이 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 임의의 \(t \gt 0\) 에 대해서 \(W_c (t) \gt 0\) 이라는 것은 이미 증명하였다 (https://pasus.tistory.com/336). 식 (1)의 그래미안 행렬은 다음 미분방정식의 해다. \[ \dot{W}_c (t)=AW_c+W_c A^T+BB^T,.. 2024. 7. 25. [Continuous-Time] 안정성과 리야프노프 방정식 행렬 \(A\) 의 모든 고유값이 음의 실수부를 갖는다면 행렬 \(A\) 는 안정(stable)하다고 한다. 만약 행렬 \(A\) 가 안정하다면 다음 리야프노프 방정식(Lyapunov equation), \[ A^T P+PA=-N \tag{1} \] 은 모든 행렬 \(N\) 에 대해서 유일해를 갖고, 그 해는 다음과 같다. \[ P= \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} \ dt \tag{2} \] 증명은 다음과 같다. 먼저 식 (2)를 (1)에 대입한다. \[ \begin{align}A^T P+PA &= \int_0^\infty A^T e^{A^T t} N e^{At} \ dt + \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} .. 2024. 7. 25. [Continuous-Time] 제어가능성과 PBH 테스트 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 이 시스템이 제어불가능하다면 제어불가능한 고유값(uncontrollable eigenvalue)이 존재한다 (https://pasus.tistory.com/337). 그렇다면 구체적으로 \(A\) 의 고유값 중 어떤 값이 제어불가능한 고유값일까. 이를 판별하기 위한 방법으로 PBH 테스트(Popov-Belevitch-Hautus test)가 있다. PBH 테스트에 의하면, 어떤 복소수 .. 2024. 7. 24. [Continuous-Time] 제어가능한 부분공간 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 이 시스템의 제어가능한 부분공간(controllable subspace) \(\chi_c\) 는 제어가능성 행렬(controllability matrix)의 레인지(range, 치역)로 정의한다. \[ \begin{align} \chi_c=range(Q_c) \tag{2} \end{align} \] 여기서 제어가능성 행렬 \(Q_c\) 는.. 2024. 7. 23. [Continuous-Time] 제어가능성 (Controllability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력이다. 만약 유한 시간 \( t_1 \lt \infty \) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\) 에서 임의의 목표 상태(target state) \( \mathbf{x}(t_1 )=\mathbf{x}_1\) 으로 시스템의 상태를 움직이도록 하는 제어입력 \(\mathbf{u}(t), \ t \in .. 2024. 7. 16. 케일리-해밀톤 정리 (Cayley-Hamilton Theorem) 정방 행렬 또는 정사각형 행렬 (square matrix) \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 의 특성 다항식(characteristic polynomial)은 다음과 같이 정의된다. \[ \begin{align} \Delta (\lambda)= \det (\lambda I-A)= \lambda^n+c_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots +c_1 \lambda+c_0 \tag{1} \end{align} \] 참고로 특성 방정식 \(\Delta (\lambda)=0\) 의 해는 행렬 A의 고유값(eigenvalue)이다. 행렬 \(A\) 의 특성 다항식은 식 (1)과 계수가 똑같은 행렬 다항식으로서 다음과 같이 정의된다. \[ \begin{align} \Del.. 2024. 7. 14. 이전 1 2 3 4 5 ··· 35 다음
