조건부 확률

사건 $B$가 발생한 조건에서 사건 $A$가 발생할 확률을 사건 $A$의 조건부 확률(conditional probability)이라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

 

$$P\{A|B\}=\frac{P\{A,B\}}{P\{B\}}$$

 

다음 그림에서 보듯이 조건부 확률은 사건 $A$이기도 하면서 동시에 사건 $B$이기도 한 사건(곱사건이라고 한다)이 발생할 확률과 사건 B만 발생할 확률의 비로 주어진다.

 

 

즉,

 

$$\frac{노란색영역확률}{(노란색+녹색)영역확률}$$

 

이다. 이와 같은 조건부 확률 정의는 상식에 부합한다.

 

 

예를 들어 보자.
주사위 놀이에서 홀수가 나올 사건을 $A$, $4$보다 작은 수가 나올 사건을 $B$라 할 때, 조건부 확률 $P\{A|B\}$를 구해보자. 상식적으로는 $4$보다 작은 수가 나올 사건, 즉 $\{1,2,3\}$중에서 홀수가 나올 사건, 즉 $\{1,3\}$이 나올 확률이므로 확률은 $2/3$이다. 이번에는 위 공식을 적용해 조건부 확률을 구해보자. 먼저, 사건 $B$의 확률은 $P\{B\}=1/2$ 이다. 사건 $A$와 $B$의 교집합은 $\{1,3\}$이므로 두 사건의 곱사건 확률은 $P\{A,B\}=1/3$ 이다. 따라서 사건 $B$가 발생한 조건에서 사건 $A$가 발생할 조건부 확률은 다음과 같이 계산된다.

 

$$P\{A|B\}=\frac{P\{A,B\}}{P\{B\}}=\frac{1/3}{1/2}=\frac{2}{3}$$

 

공리에 의해서 전체 표본공간 $S$의 확률은 $1$이기 때문에 사건 $A$의 확률도 다음과 같이 사건 $S$가 발생한 조건에서 사건 $A$가 발생할 확률인 조건부 확률로 쓸 수 있다.

 

$$P\{A|S\}=\frac{P\{A,S\}}{P\{S\}}=\frac{P\{A\}}{1}=P\{A\}$$

 

따라서 다음 그림과 같이 사건 A가 발생할 확률은

 

$$\frac{노란색영역확률}{(노란색+녹색)영역확률}$$

 

가 된다.

 

 

따라서 조건부 확률 $P\{A|B$} \)는 전체 표본공간이 사건 $B$로 축소되었다고 생각하면 된다.

다음으로 조건으로 삼을 만한 사건이 하나 더 있는 경우를 살펴보자. 이 사건을 $C$라고 하자. 그러면 사건 $B$이기도 하면서 동시에 사건 $C$이기도 한 사건이 발생한 조건에서 사건 $A$가 발생할 조건부 확률 $P\{A|B,C\}$는 다음 그림과 같이

 

$$\frac{노란색영역확률}{(노란색+녹색)영역확률}$$

 

가 된다.

 

수식으로 쓰면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}P\{A|B,C\}& =\frac{P\{A,B,C\}}{P\{B,C\}}\\ \\ & =\frac{P\{A,B|C\}P\{C\}}{P\{B|C\}P\{C\}}\\ \\ & =\frac{P\{A,B|C\}}{P\{B|C\}}\end{array}$$