CW 방정식 (Clohessy-Wiltshire Equations)

chief 위성에서 deputy 위성의 까지의 거리가 지구중심에서 chief 위성까지의 거리보다 매우 작은 경우 chief 위성에 대한 deputy 위성의 상대 운동을 Hill 좌표계로 표현하면 다음과 같았다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \ddot{x}-(\frac{2\mu }{r^3}+\frac{h^2}{r^4})x+\frac{2(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v})h}{r^4}y-2\frac{h}{r^2}\dot{y}=f_1\\ & \ddot{y}+(\frac{\mu }{r^3}-\frac{h^2}{r^4})y-\frac{2(\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v})h}{r^4}x+2\frac{h}{r^2}\dot{x}=f_2\\ \\ & \ddot{z}+\frac{\mu }{r^3}z=f_3\end{array}$$

 

 

 

여기서 $\delta \overrightarrow{r}=x{\hat{o}}_1+y{\hat{o}}_2+z{\hat{o}}_3$ 는 deputy 위성의 상대 위치 벡터이고 $\overrightarrow{r}$ 과 $\overrightarrow{v}$ 는 chief 위성의 위치벡터와 속도벡터, $r$ 은 $\overrightarrow{r}$ 의 크기, $h$ 는 chief 위성의 각운동량 벡터 $\overrightarrow{h}$ 의 크기, $\mu$ 는 중력 파라미터, $f_1,f_2,f_3$ 는 섭동력(perturbing specific force)의 차이다.

 

 

chief 위성의 궤도를 기준 궤도(reference orbit)이라고 한다. 만약 기준 궤도가 원이라면 위 식은 상당히 단순화된다. 원궤도에서는 $\overrightarrow{r}\cdot \overrightarrow{v}=0$ 이고, $h=\sqrt{\mu r}$ 이므로 식 (1)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(2)}& & \ddot{x}-\frac{3\mu }{r^3}x-2\sqrt{\frac{\mu }{r^3}}\dot{y}=f_1\\ & \ddot{y}+2\sqrt{\frac{\mu }{r^3}}\dot{x}=f_2\\ \\ & \ddot{z}+\frac{\mu }{r^3}z=f_3\end{array}$$

 

또한 원궤도에서 각속력 $n$ 은 다음과 같이 주어지므로

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& n=\frac{v}{r}=\frac{\sqrt{\frac{\mu }{r}}}{r}=\sqrt{\frac{\mu }{r^3}}\end{array}$$

 

식 (2)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& & \ddot{x}-3n^{2}x-2n\dot{y}=f_1\\ & \ddot{y}+2n\dot{x}=f_2\\ \\ & \ddot{z}+n^{2}z=f_3\end{array}$$

 

식 (4)를 Clohessy-Wiltshire(CW) 방정식이라고 한다. CW 방정식은 Hill 방정식 또는 Euler-Hill 방정식으로 부르기도 한다. CW 방정식은 1960년대부터 위성 근접 작업, 예를 들면 랑데부나 편대비행 등을 모델링하는데 광범위하게 사용되고 있다. 식 (1)과는 달리 CW 방정식 (4)는 계수가 일정한 시불변(time-invariant) 시스템이기 때문에 섭동력을 무시할 경우($f_1=f_2=f_3=0$) 해석적인 풀이가 가능하다.

섭동력이 모두 $0$ 이라고 가정하고 CW 방정식 (4)를 풀어보자. $z$ 방향(cross-track) 상대 운동은 다른 두 방향의 상대 운동과 독립적이고 방정식이 단순하므로 먼저 풀어보도록 한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& & z(t)=z_0\cos (nt)+\frac{{\dot{z}}_0}{n}\sin (nt)\\ & \dot{z}(t)=-z_{0}n\sin (nt)+{\dot{z}}_0\cos (nt)\end{array}$$

 

여기서 $z_0$, ${\dot{z}}_0$ 는 각각 $z$ 와 $\dot{z}$ 의 초기값이다. $z$ 방향의 상대 운동은 기준 궤도의 각속력 $n$ 과 동일한 주파수로 진동한다는 것을 알 수 있다. 물리적으로 이 운동은 기준 궤도와 약간 다른 경사각을 갖는 운동으로 표현할 수 있다.

 

 

$x-y$ (radial/along-track) 운동은 결합되어 있어서 다음과 같이 벡터 행렬식으로 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ \dot{y}\\ \ddot{x}\\ \ddot{y}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 3n^2& 0& 0& 2n\\ 0& 0& -2n& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]\end{array}$$

 

위 식을 풀면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ \dot{x}\\ \dot{y}\end{array}\right]=e^{At}\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ {\dot{x}}_0\\ {\dot{y}}_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Phi }}_{rr}(t)& {\mathrm{\Phi }}_{rv}(t)\\ {\mathrm{\Phi }}_{vr}(t)& {\mathrm{\Phi }}_{vv}(t)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\\ {\dot{x}}_0\\ {\dot{y}}_0\end{array}\right]\end{array}$$

 

여기서 $x_0$, $y_0$, ${\dot{x}}_0$, ${\dot{y}}_0$ 는 각각 $x,y$ 와 $\dot{x},\dot{y}$ 의 초기값이고

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & {\mathrm{\Phi }}_{rr}(t)=\left[\begin{array}{cc}4-3\cos (nt)& 0\\ 6(\sin (nt)-nt)& 1\end{array}\right]\\ & {\mathrm{\Phi }}_{rv}(t)=\left[\begin{array}{cc}\frac{1}{n}\sin (nt)& \frac{2}{n}(1-\cos (nt))\\ \frac{2}{n}(\cos (nt)-1)& \frac{4}{n}\sin (nt)-3t\end{array}\right]\\ \\ & {\mathrm{\Phi }}_{vr}(t)=\left[\begin{array}{cc}3n\sin (nt)& 0\\ 6n(\cos (nt)-1)& 0\end{array}\right]\\ \\ & {\mathrm{\Phi }}_{vv}(t)=\left[\begin{array}{cc}\cos (nt)& 2\sin (nt)\\ -2\sin (nt)& 4\cos (nt)-3\end{array}\right]\end{array}$$

 

이다.

 

 

$z$ 방향과 마찬가지로 $x,y$ 방향 상대 운동도 기준 궤도의 각속력 $n$ 과 동일한 주파수로 진동한다는 것을 알 수 있다.

식 (7)과 (8)에서 $x$ 와 $y$ 를 풀어 쓰면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& x(t)& =(4-3\cos (nt))x_0+\frac{1}{n}\sin (nt){\dot{x}}_0+\frac{2}{n}(1-\cos (nt)){\dot{y}}_0\\ & =\frac{{\dot{x}}_0}{n}\sin (nt)-(3x_0+\frac{2}{n}{\dot{y}}_0)\cos (nt)+4x_0+\frac{2}{n}{\dot{y}}_0\\ \\ \text{(10)}& y(t)& =6(\sin (nt)-nt)x_0+y_0+\frac{2}{n}(\cos (nt)-1){\dot{x}}_0+(\frac{4}{n}\sin (nt)-3t){\dot{y}}_0\\ & =2(3x_0+\frac{2}{n}{\dot{y}}_0)\sin (nt)+\left(\frac{2}{n}{\dot{x}}_0\right)\cos (nt)+y_0-\frac{2}{n}{\dot{x}}_0-3(2n{x}_0+{\dot{y}}_0)t\end{array}$$

 

식 (10)에 의하면 $y$ 는 시간이 지남에 따라 선형적으로 증가하는 항을 가지고 있다. 따라서 $2n{x}_0+{\dot{y}}_0=0$ 이 아닌 이상 deputy 위성은 chief 위성으로부터 멀어질 것이고 둘 사이의 거리는 한없이 증가할 것이다.

식 (6)에서 행렬 $A$ 의 고유값을 구해보면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& det(A-sI)& =det\left[\begin{array}{cccc}-s& 0& 1& 0\\ 0& -s& 0& 1\\ 3n^2& 0& -s& 2n\\ 0& 0& -2n& -s\end{array}\right]\\ & =s^4+n^2{s}^2=s^2(s^2+n^2)=0\\ \\ \to & s=0,0,+jn,-jn\end{array}$$

 

따라서 시스템 (6)은 3개의 운동 모드를 갖는다는 것을 알 수 있다.

먼저 고유값 $s=0$ 에 해당하는 모드는 일정(constant)한 운동모드라는 것을 짐작할 수 있는데 이 모드만을 발현하기 위한 초기값은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& x_0=0,y_0=arbitrary,{\dot{x}}_0=0,{\dot{y}}_0=0\end{array}$$

 

그러면 식 (9)와 (10)에서

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& x(t)=0,y(t)=y_0\end{array}$$

 

가 되므로 deputy 위성은 $y$ 방향 (along-track) 으로 기준 궤도에 대해 궤도 반지름은 같지만 $y_0$ 만큼 앞서거나 또는 뒤지는 운동을 하는 것을 알 수 있다.

또 다른 고유값 $s=0$(중근)에 해당하는 모드는 일정(constant)한 시간 변화율을 갖는 운동모드라는 것을 짐작할 수 있는데 이 모드만을 발현하기 위한 초기값은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& x_0=arbitrary,y_0=arbitrary,{\dot{x}}_0=0,{\dot{y}}_0=-\frac{3n{x}_0}{2}\end{array}$$

 

그러면 식 (9)와 (10)에서

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& x(t)=x_0,y(t)=\frac{-3n{x}_0}{2}t+y_0\end{array}$$

 

가 되므로 deputy 위성은 기준 궤도에 비해 고도가 높고 ($x_0>0$) 일정 속도로 뒤쳐지는 ($\dot{y}<0$)운동을 하는 것을 알 수 있다. 반대로 기준 궤도에 비해 고도가 낮으며 ($x_0<0$) 일정 속도로 앞서가는 ($\dot{y}>0$)운동을 한다.

아래 영상에서 파란색은 deputy 위성, 빨간색은 chief 위성을 나타낸다. 왼쪽 영상은 ECI 좌표계에서, 오른쪽 영상은 Hill 좌표계에서 본 운동이다.

 

 

고유값 $s=\pm jn$ 에 해당하는 모드는 주파수 $n$ 으로 진동하는 운동모드라는 것을 짐작할 수 있는데 이 모드만을 발현하기 위한 초기값은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(16)}& x_0=arbitrary,y_0=arbitrary,{\dot{x}}_0=0,{\dot{y}}_0=-2n{x}_0\end{array}$$

 

그러면 식 (9)와 (10)에서

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& x(t)=x_0\cos (nt),y(t)=-2x_0\sin (nt)+y_0\end{array}$$

 

가 되므로 deputy 위성은 chief 위성의 궤도 주기와 같은 주기로 chief 위성 주위를 회전(loop)하는 운동을 하는 것을 알 수 있다.

 

 

일반적인 초기값에 대해서는 위 3가지 모드가 복합적으로 나타난다. 초기값에 따라서는 루프 궤적보다는 굽이치는 궤적을 보이기도 한다.