유도항법제어/최적제어26 [PSOC-9] 로바토 유사 스펙트럴 (LPM) 기반 최적제어 로바토 유사 스펙트럴 방법(LPM, Lobatto pseudospectral method)에서는 콜로케이션 포인트와 보간점이 동일하다. \(N\) 개의 LGL(Legendre-Gauss-Lobatto) 포인트를 콜로케이션 포인트와 보간점으로 모두 사용한다. LGL 포인트는 \((N-1)\) 차 르장드르(Legendre) 미분 다항식 \(\dot{P}_{N-1} (\tau)\) 의 해와 \(\tau=-1, \ \tau=1\) 로 구성되어 있다. 로바토 유사 스펙트럴 방법에서는 상태변수 \(\mathbf{x}(\tau)\) 를 \((N-1)\)차 라그랑지 다항식으로 근사화한다. \[ \mathbf{x}( \tau ) \approx \mathbf{X} (\tau)= \sum_{i=1}^N \mathbf{X}_.. 2023. 7. 17. [PSOC-8] 유사 스펙트럴 기반 최적제어 문제 연속시간 최적제어에 사용되는 두 가지 유형의 수치적 방법 중 직접방법(direct method)은 최적제어 문제에서 상태변수와 제어입력을 이산화(discretization)시켜 비선형 프로그래밍 문제(NLP, nonlinear programming problem)로 바꾸는 것이다. 유사 스펙트럴 방법(pseudospectral method)은 지난 10여년 동안 최적제어 분야에서 널리 사용된 직접방법 중의 하나로서 콜로케이션 포인트(collocation point)와 보간점(interpolating point)을 이용하는 것이 핵심이다. 지금까지 살펴본 수학적 배경지식인 라그랑지 보간 다항식, 가우시안 쿼드래처, 유사 스펙트럴 방법 등을 간략히 요약한 다음에 연속시간 최적제어 문제를 비선형 프로그래밍 문.. 2023. 7. 17. 동역학 문제의 최적제어 문제로의 변환 고전 동역학에서 해밀톤의 원리(Hamilton's principle) (https://pasus.tistory.com/155) 에 의하면 고정된 양 끝단을 연결하는 수많은 경로 중에서 실제 경로는 '작용(action)'을 최소화하는 경로다. 여기서 작용이란 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이를 시간 적분한 것을 의미한다. 이 원리로부터 라그랑지 방정식(Lagrange's equation)이 유도되는데, 여기서는 이를 최적제어 문제를 이용하여 유도해 보도록 하겠다. 먼저 제어 대상 시스템의 운동 방정식을 다음과 같이 표현하자. \[ \frac{d\mathbf{q}}{dt} = \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{q}\) 는 일반화 좌표(generalized coordinate).. 2023. 6. 4. [Continuous-Time] LQR 예제 : 비례항법유도 법칙 이전 포스트(https://pasus.tistory.com/259)와 동일한 문제를 풀어본다. 다만 최종시간에서 \(y(t_f )\) 는 주어지지만 \(\theta (t_f )\) 에 관한 제약조건은 없는 경우이다. 편의상 비행체의 선형화된 운동 방정식을 다시 쓴다. \[ \begin{align} & \dot{x} \approx V \tag{1} \\ \\ & \dot{y} \approx V \theta \\ \\ & \dot{\theta}= \frac{a}{V} \end{align} \] 여기서 \(a\) 는 비행체의 가속도로서 제어변수, \(\theta\) 는 x-축과 비행체의 속도벡터 사이의 비행 방향각으로서 매우 작다고 가정한 것이다. 비용함수와 제약조건은 다음과 같다. \[ \begin{alig.. 2023. 4. 23. [Continuous-Time] LQR 예제 : 타격각 제어 일정한 속력 \(V\) 로 움직이는 비행체가 있다. 제어 목적은 출발지에서 출발하여 비행 시간 \(t_f\) 가 경과한 후 목적지에 최소의 에너지를 사용하여 특정한 방향각 \(\theta_f\) 로 비행체를 목적지 \((x_f, \ y_f)\) 에 도착시키는 것이다. 비행체가 미사일이라면 \(\theta_f\)를 타격각(impact angle)이라고 한다. 아래 그림에 비행체와 목적지, 출발지 간의 기하학적인 관계가 나와 있다. 비행체의 운동 방정식은 다음과 같다. \[ \begin{align} & \dot{x}= V \cos \theta \tag{1} \\ \\ & \dot{y} =V \sin \theta \\ \\ & \dot{\theta}= \frac{a}{V} \end{align} \] 여기서 \.. 2023. 4. 22. [Continuous-Time] 고정최종상태 (Fixed-final-state) LQR 다음과 같이 선형 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 이 시스템의 초기 시간 \(t_0\) 와 초기 상태변수 \(\mathbf{x}(t_0)\) 는 주어졌다고 가정한다. 또한 최종 시간 \(t_f\) 와 최종 상태변수 \(\mathbf{x}(t_f)\) 도 미리 원하는 값 \(\mathbf{x}_f\) 로 설정되었다고 가정한다. 따라서 \(dt_0=0\), \(d\mathbf{x}(t_0 )=0\), \(dt_f=0\), \(d\mathbf{x}(t_f )=0\) 이 되기 때문에 최적제어의 필요조건을 정리한 표에 의하면 경계조건은 자동으로 만족된다. 이 시스템의 비용함수도 다음과 같이 고정된 시간 구간 \([t_0, \ t.. 2023. 4. 13. [Continuous-Time] 최종상태제약 (Final-state-constrained) LQR 다음과 같이 선형 시스템이 주어지고, \[ \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 이 시스템의 목적함수도 다음과 같이 고정된 시간 구간 \([t_0, \ t_f]\) 에서 이차함수로 주어졌다고 하자. \[ J=\frac{1}{2} \mathbf{x}^T (t_f ) S_f \mathbf{x}(t_f )+ \frac{1}{2} \int_{t_0}^{t_f} \left( \mathbf{x}^T Q \mathbf{x}+ \mathbf{u}^T R \mathbf{u} \right) dt \tag{2} \] 최종 상태변수의 제약조건은 다음과 같이 설정되었다고 가정하자. \[ \psi (\mathbf{x}(t_f ), t_f )=C \mathbf{x}(t_f .. 2023. 4. 8. [Continuous-Time] 최적제어 예제 간단한 최적제어 문제를 풀어보고자 한다. 최적제어 문제는 최종시간이 설정된(fixed) 값으로 주어지는지 아닌지, 그리고 최종 상태변수가 설정된 값으로 주어지는지 아닌지에 따라 다양하게 분류할 수 있다. 대개의 경우 초기시간과 상태변수 초기값은 설정된 값으로 주어진다. 먼저 최종시간과 최종 상태변수가 모두 주어진 경우다. 연속시간 비선형 시스템의 최적제어의 필요조건을 정리한 다음 표에 의하면, 이 경우 경계조건은 자동으로 만족된다. 일정한 속력 \(V\) 로 움직이는 비행체가 있다. 제어 목적은 비행체가 출발지에서 출발하여 비행 시간 \(t_f\) 가 경과한 후 목적지에 최소의 에너지를 사용하여 도착시키는 것이다. 그림에 비행체와 목적지, 출발지간의 기하하적인 관계가 나와 있다. 비행체의 운동 방정식은 .. 2022. 12. 14. [Continuous-Time] 최적제어 문제 최적제어(optimal control)문제는 여러 가지 물리적인 제약조건을 만족하면서 어떤 성능지표(performance index) 또는 목적함수(objective function)를 최적화하도록 동적 시스템(dynamic system)의 제어변수(control variable)을 결정하는 문제이다. 제약조건(constraints)은 동적 시스템의 동역학과 함께 시스템 제어변수 및 상태변수의 경로 제약조건(path constraints), 상태변수의 초기값(initial value) 및 최종값(final value)에 관한 제약조건(constraint on the initial and final states)을 모두 포함한다. 목적함수는 설계자가 의도한대로 시스템을 움직이면서 의도한 성능을 발휘할 수 .. 2022. 12. 13. [MPC] MPC를 위한 두가지 QP 모델 - 2 MPC(model predictive control) 문제를 최적화 문제인 QP(quadratic program)문제로 변환할 때 널리 사용되는 일반적인 방법( https://pasus.tistory.com/229 )은 모델이 조밀해져서 문제의 구조가 손실되는 단점이 있다. 고속 MPC(fast MPC)에서는 QP 문제로 변환할 시 적절한 변수 재정렬을 사용하여 희소(sparse)구조를 최대로 이용할 수 있도록 특별한 방법으로 변환하며, 최적화 기법을 적용할 시 warm start, fixed iteration, early termination등의 휴리스틱 기법을 이용하여 MPC 계산량을 대폭 줄이는 방법을 사용한다. fast MPC알고리즘은 스탠퍼드의 Boyd 교수와 그 제자의 논문인 'Fast Mod.. 2022. 12. 3. 이전 1 2 3 다음
