항공우주/우주역학67 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 3 비행시간(time of flight)을 계산할 수 있는 케플러 방정식(Kepler's equation)은 \(e \approx 1\) 근방에서 계산 정확도가 크게 저하된다. 특히 \(E\) 가 \(0\) 에 가까우면 \(M_e=E-e \sin E \approx E-E=0\) 이 되므로 계산 결과의 신뢰도가 떨어진다. 또한 케플러 방정식은 궤도의 모양에 따라서 다른 방정식을 사용해야 하는 불편함이 따른다. 이러한 두 가지 단점을 극복하고자 새로운 변수를 도입한 케플러 방정식이 개발되었다. 이 방정식은 모든 궤도에 대해서 유효한 범용 방정식이다. 이 방정식을 유도해 보자. 역학적 에너지(https://pasus.tistory.com/173) \(\mathcal{E}\) 의 정의로부터 시작한다. \[ \mat.. 2023. 11. 25. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 2 타원궤도와 비슷한 방법으로 이번에는 쌍곡선궤도의 케플러 문제를 풀어보자. 원점이 두 초점 사이의 중간에 있는 직교 좌표계에서 쌍곡선 방정식을 표현하면 다음과 같다. \[ \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} =1 \tag{1} \] 한편 이전 게시글(https://pasus.tistory.com/171)에서 쌍곡선 방정식을 극좌표계로 다음과 같이 표현한 바 있다. \[ r= \frac{a(e^2-1)}{1+e \cos \theta }, \ \ \ \ \ a \gt 0, \ \ \ e \gt 1 \tag{2} \] 위 그림에 나와있는 것처럼 \(x\) 는 다음과 같다. \[ \begin{align} x &= -a-r_p+r \cos \theta \tag{3} \\ \\ &=-a-a(.. 2023. 11. 22. 케플러 문제 (Kepler’s problem) - 1 궤도가 주어졌을 때 우주비행체가 궤도상의 한 지점에서 다른 지점까지 비행하는데 걸리는 비행시간(time of flight)을 함수의 적분 해를 이용하여 계산해 보았다 (https://pasus.tistory.com/307). 하지만 케플러는 미적분이 발명되기 80여년전에 이미 기하학적인 방법을 사용하여 시간 \(t=t_0\) 에서의 실제 비행각(true anomaly) \(\theta_0 = \theta(t_0)\) 와 임의의 실제 비행각 \(\theta(t)\) 가 주어졌을 때 비행시간 \(t-t_0\) 을 계산하였고, 또 역으로 시간 \(t=t_0\) 에서의 실제 비행각 \(\theta_0 \) 와 임의의 비행시간 \(t-t_0\) 가 주어졌을 때 실제 비행각 \(\theta(t)\) 를 구하는 예측.. 2023. 11. 18. 궤도의 비행각과 비행시간 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터 및 속도벡터를 고전 궤도요소(COE)로 변환하면 궤도의 크기, 모양, 자세에 대해 알 수 있다 (https://pasus.tistory.com/287). 궤도의 크기, 모양, 자세는 ECI좌표계에서 일정하게 유지되고 6개의 궤도요소 중에서 궤도상의 우주비행체의 위치를 나타내는 실제 비행각(true anomaly) \(\theta\) 만이 시간의 함수이므로, 우주비행체는 마치 우주공간에 있는 미리 정해진 철로를 따라 운행하는 기차와 같다고 볼 수 있다. 이제 궤도가 주어졌을 때 우주비행체가 궤도상의 한 지점에서 다른 지점까지 비행하는데 걸리는 비행시간(time of flight)을 계산해 보도록 하자. 궤도 상에서 우주비행체의 위치는 실제 비행각으로 나타낼 수 .. 2023. 11. 16. 정적 자세결정: QUEST 1978년 HEAO-B(High Energy Astronomy Observatory)의 자세 추정을 계산하는 데 Davenport의 q-방법을 사용했다. 그러나 당시의 컴퓨터 성능으로는 1년 후에 발사된 MAGSAT에서 요구된 보다 빈번한 자세 계산을 감당할 수는 없었다고 한다. QUEST(QUaternion Estimator) 알고리즘은 이러한 요구에 부응하기 위해 고안되었으며, Wahba 의 자세결정 문제를 해결하기 위한 알고리즘으로 널리 사용되게 되었다. QUEST는 Davenport의 q-방법과 마찬가지로 행렬 \(K\) 의 고유값을 찾아 Wahba의 문제를 푼다(https://pasus.tistory.com/303). 그러나 QUEST는 고유값을 계산할 때 Newton-Raphson 반복법을 사.. 2023. 11. 1. 정적 자세결정: Davenport의 q-방법 앞서 살펴본 TRIAD는 두 개의 측정 단위벡터를 이용하여 우주비행체의 자세를 결정하였다 (https://pasus.tistory.com/302). 만약 두 개 이상의 단위벡터를 측정할 수 있다면 모든 측정 벡터를 이용할 수 있도록 TRIAD 방법을 개선해야 할 것이다. 예를 들면 많은 항성을 동시에 추적할 수 있는 별센서를 사용한다면 다수의 단위벡터가 측정된다. Wahba는 센서의 불확실성으로 인해 발생하는 오류를 최소화하는 방식으로 다수의 측정 단위벡터를 처리하는 방법에 대한 문제를 정립했다. \(n\) 개의 측정 단위벡터를 \(\hat{s}_k, \ k=1, ..., n\) 이라고 하자. 그리고 이 벡터를 기준좌표계 \(\{a\}\) 와 동체좌표계 \(\{b\}\) 로 표현한 벡터를 각각 \(\ma.. 2023. 10. 22. 정적 자세결정 (Static attitude determination): TRIAD 유도항법제어(GNC, guidance, navigation, and control) 분야에서 자세(attitude)란 기준좌표계(reference frame)를 기준으로 3차원 공간에서 항공기 또는 우주비행체 등 운동체에 부착된 동체좌표계(body frame)가 어떤 방향으로 정렬되어 있는 지를 말한다. 자세를 표현하기 위한 방법으로는 오일러각(Euler angles), 방향코사인행렬(DCM, direction cosine matrix), 쿼터니언, 로드리게스 파라미터 등이 있다. 자세를 표현한다 함은 기본적으로 기준좌표계가 동체좌표계와 일치하려면 기준좌표계의 어느 축을 중심으로 얼마만큼 회전해야 하는 지를 나타낸다고 보면 된다. 센서의 측정값으로부터 자세를 계산해야 하는데, 이에 관련된 용어가 두 가지.. 2023. 10. 19. [CR3BP] 주기궤도의 매니폴드 계산 라그랑지 포인트(Lagrange point) 에 대한 안정성(stability) 판별과 부분공간(subspace)의 계산 (https://pasus.tistory.com/272)과 유사하게 주기궤도(periodic orbit) 상에 있는 임의의 포인트에 대해서도 안정성 판별과 부분공간을 계산할 수 있다. 주기궤도(periodic orbit) 상에 고정된 포인트에서 계산된 모노드로미 행렬 (monodromy matrix)은 궤도 상에 있는 포인트마다 서로 다른 값을 가지므로 고유벡터(eigenvector)는 달라진다. 반면에 고유값(eigenvalue)은 궤도를 따라 일정하게 유지되는데, 이 때문에 고유값을 '주기궤도의 고유값' 이라고 하며 주기궤도의 한 속성으로 본다. 이에 대해 자세히 알아보기 위하여 .. 2023. 8. 1. 궤도요소 (COE)로 부터 위치 및 속도벡터 계산 우주비행체의 위치벡터 및 속도벡터를 궤도요소(COE, classical orbital elements)로 변환할 수 있었다 (https://pasus.tistory.com/287). 이번에는 이와 반대로 궤도요소를 위치벡터와 속도벡터로 변환하는 방법에 대해서 알아보기로 하자. 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 궤도요소 \((a, \ e, \ i, \ \Omega, \ \omega, \ \theta (t_0 ))\) 에서 위치벡터 \(\vec{r}\) 과 속도벡터 \(\vec{v}\) 를 구하는 과정은 두 단계로 나누어진다. 궤도중심좌표계(perifocal frame)에서 위치벡터와 속도벡터를 구하는 단계와 좌표변환을 통하여 ECI좌표계로 이들 벡터를 변환하는 단계이다. 먼저 궤도중심좌표계에서 위치벡터와.. 2023. 7. 31. 궤도요소 (COE) 계산 고전 궤도요소 (COE, classical orbital elements)의 6개 파라미터는 우주비행체의 위치벡터 및 속도벡터와 함수관계에 있다. 따라서 임의의 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터와 속도벡터를 궤도요소로 변환하면 궤도의 크기, 모양, 자세 등을 알 수 있다. 시간 \(t=t_0\) 에서 주어진 위치벡터와 속도벡터 \(\vec{r}(t_0), \ \vec{v}(t_0)\) 에서 궤도요소를 구하는 과정은 두 단계로 나누어진다. 우선 위치벡터와 속도벡터로부터 각운동량 벡터 \(\vec{h}\), 승교선 벡터(ascending node vector) \(\vec{n}\), 이심율 벡터(eccentricity vector) \(\vec{e}\) 를 구하는 단계와 이들 벡터로부터 궤도요소를.. 2023. 7. 26. 이전 1 2 3 4 5 6 7 다음
