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미분보정 (Differential Correction) 미분보정(differential correction)은 슈팅방법(shooting method)으로도 불린다. 기본적으로 미분방정식의 경계값 문제(boundary value problem)를 초기값 문제(initial value problem)로 바꾸어 해를 구하는 방법이다. 다음과 같은 비선형 미분방정식이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}(t)= \mathbf{f}(\mathbf{x}(t)) \tag{1} \] 여기서 초기값 \(\mathbf{x}(t_0 )\) 은 일부만 주어지거나 또는 주어지지 않았다고 가정한다. 대신 정해진 시간 \(t_f\) 에서 경계값 \(\mathbf{x}_d\) 가 주어졌다고 가정한다. 문제는 시간 \(t_f\) 에서 \(\mathbf{x}(t_f )=\mathbf{.. 2023. 7. 3.
심플렉틱 행렬 (Symplectic Matrix) 심플렉틱 행렬(symplectic matrix)은 다음식을 만족하는 정사각형 행렬 \( M \in \mathbb{R}^{2n \times 2n}\) 으로 정의한다. \[ M^T JM=J \tag{1} \] 여기서 \[ J= \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix} \] 이고 \(I_n\) 은 \(n \times n\) 단위행렬이다. 심플렉틱 행렬은 다음과 같은 몇가지 특징을 갖는다. 첫째 심플렉틱 행렬의 행렬식(determinant)은 항상 \(1\) 이다. 증명은 다음과 같다. 식 (1)에서 \[ \begin{align} \det ⁡J = 1 &= \det⁡(M^T ) \det⁡ J \det⁡ M \tag{2} \\ \\ &=(\det ⁡M )^2 \en.. 2023. 7. 1.
상태천이행렬 (State Transition Matrix) 과 Floquet 정리 다음과 같이 선형 시불변 (LTI, linear time-invariant) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}(t)=A \mathbf{x}(t) \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 는 상수 행렬이다. 이 시스템의 해는 다음과 같다 (https://pasus.tistory.com/234). \[ \mathbf{x}(t)=e^{A(t-t_0)} \mathbf{x} (t_0) \tag{2} \] 이번에는 다음과 같은 선형 시변(LTV, linear time-varying) 시스템의 해를 구해보자. \[ \dot{\mathbf{x}}(t)=A(t) \mathbf{x}.. 2023. 6. 30.
[CR3BP] 리야프노프 궤도, 헤일로 궤도, 그리고 리사주 궤도 라그랑지 포인트 L1, L2 및 L3에서의 선형화 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/272). \[ \begin{align} & \delta \ddot{x}-2 \delta \dot{y}-(1+2c_2 ) \delta x=0 \tag{1} \\ \\ & \delta \ddot{y}+2 \delta \dot{x}+(-1+c_2 ) \delta y=0 \\ \\ & \delta \ddot{z}+c_2 \delta z=0 \end{align} \] 여기서 \[ c_2= \frac{(1-\mu)}{|x_0+\mu|^3 }+ \frac{\mu}{ |x_0+\mu-1|^3 } \tag{2} \] 이다. 식 (1)에서 \(\delta x, \ \delta y\) 운동을 벡터 .. 2023. 6. 27.
[CR3BP] L1, L2 및 L3 포인트에서의 궤도 운동 CR3BP의 선형화된 운동방정식을 이용하여 라그랑지 포인트(Lagrange point) L4 및 L5 포인트는 (중립) 안정 평형점이지만, L1, L2 및 L3 포인트는 불안정한 평형점이라는 것을 확인했다 (https://pasus.tistory.com/271). 하지만 L1, L2 및 L3 포인트의 고유값(eigenvalue) 분석에 의하면 평형점 주위에 주기 궤도(periodic orbit)가 존재함을 시사한다. 즉 특정한 초기조건을 설정하면 불안정한 운동 모드를 배제하고 주기 운동을 하는 모드만을 나타나게 할 수가 있다. 라그랑지 포인트에서의 선형화 운동방정식은 다음과 같다. \[ \begin{align} & \delta \ddot{x}-2 \delta \dot{y} = -\bar{U}_{xx} \.. 2023. 6. 25.
[CR3BP] 라그랑지 포인트 안정성 해석 CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/147). \[ \begin{align} & \ddot{x}-2 \dot{y} = -\bar{U}_x \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x} = -\bar{U}_y \\ \\ & \ddot{z} = -\bar{U}_z \end{align} \] 여기서 \[ \begin{align} & U_{eff}= -\frac{1}{2} (x^2+y^2 ) - \frac{1-\mu}{r_1} - \frac{\mu}{r_2} - \frac{1}{2} \mu (1-\mu) \\ \\ & r_1= \sqrt{(x+\mu)^2+y^2+z^2 } \\ \\ & r_2= \sqrt{(x+\mu-1)^2+y^2.. 2023. 6. 22.
[CR3BP] 힐의 영역 (Hill’s Region) 원궤도 제한 삼체문제(CR3BP)는 질량중심을 중심으로 원궤도 운동을 하는 두 개의 기본 질점에 의해 생성된 중력장에서 제3의 질점의 운동을 기술한다. CR3BP의 무차원화된 운동방정식은 다음과 같았다 (https://pasus.tistory.com/147). \[ \begin{align} & \ddot{x}-2\dot{y}- x= - \frac{(1-\mu)(x+\mu) }{r_1^3 }- \frac{\mu (x+\mu-1)}{ r_2^3 } \tag{1} \\ \\ & \ddot{y}+2 \dot{x}-y= - \frac{(1-\mu)y}{r_1^3 }- \frac{\mu y}{ r_2^3 } \\ \\ & \ddot{z}=- \frac{(1-\mu )z}{r_1^3 }- \frac{\mu z}{ r.. 2023. 6. 19.
Hindsight Experience Replay (HER) 강화학습에서는 보상(reward)을 환경이 제공한다고 가정하지만 실제로는 강화학습 설계자가 시스템이 원하는 반응을 보이도록 보상함수를 설계해야 한다. 보상함수는 설계자가 원하는 것을 정확히 포착하도록 해야 하지만, 학습의 안정성과 효율성도 고려해서 신중하게 설계해야 한다. 강화학습을 실제 문제에 적용하는데 있어서 어려운 점 중의 하나는 바로 이 보상함수를 적절하게 설계하는 것이다. 특히 항공기나 미사일, 그리고 로봇과 같은 물리 시스템의 경우에는 도메인 지식이 없거나 또는 복잡하고 예측할 수 없는 환경에서는 적절한 보상을 설정하는 것 자체가 어려울 수도 있고, 또한 잘못된 지표를 최적화하게 되면 실제 의도한 목표에 대한 성능이 저하됨은 물론 예상하지 못한 원치 않는 동작을 유발할 수도 있다. 따라서 설계.. 2023. 6. 12.
동역학 문제의 최적제어 문제로의 변환 고전 동역학에서 해밀톤의 원리(Hamilton's principle) (https://pasus.tistory.com/155) 에 의하면 고정된 양 끝단을 연결하는 수많은 경로 중에서 실제 경로는 '작용(action)'을 최소화하는 경로다. 여기서 작용이란 운동 에너지와 포텐셜 에너지의 차이를 시간 적분한 것을 의미한다. 이 원리로부터 라그랑지 방정식(Lagrange's equation)이 유도되는데, 여기서는 이를 최적제어 문제를 이용하여 유도해 보도록 하겠다. 먼저 제어 대상 시스템의 운동 방정식을 다음과 같이 표현하자. \[ \frac{d\mathbf{q}}{dt} = \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{q}\) 는 일반화 좌표(generalized coordinate).. 2023. 6. 4.
[LSTM] LSTM-AE를 이용한 시퀀스 데이터 이상 탐지 오토인코더(AE, autoencoder)는 입력 데이터를 압축하고 의미 있는 표현으로 인코딩한 다음 복원시켜 복원된 데이터가 원본 데이터와 최대한 유사하도록 만든 신경망이다.    AE는 일반적인 용도인 차원축소(dimension reduction) 뿐만 아니라 다양한 응용 분야를 갖고 있는데 그 중 하나가 이상 탐지(anomaly detection) 분야다. 비정상 탐지 또는 이상 탐지란 대부분의 입력 데이터와는 특성이 상이하여 정상이 아닌 것으로 의심을 불러일으킬 만한 어떤 사건 또는 측정값을 식별하는 행위이다. 예를 들면 국내에서 주로 사용되던 신용카드가 갑자기 해외에서 결제된 사건, 공장의 제조라인에서 불량품을 발견하는 일, 또는 센서 또는 시스템의 고장이라고 의심될 만한 측정 신호 검출 등을 들.. 2023. 5. 31.
[LSTM] 주가 예측 LSTM(Long Short-Term Memory)이 시계열 예측(timeseries forecasting)에 특화되어 있다보니 주식 가격을 예측해보는 간단한 LSTM 예제 코드가 Github등에 많이 나와 있다. '주가예측'만큼 학습용 데이터를 손쉽게 얻을 수 있고 대중의 관심도 큰 분야는 없는 듯 하다. 최근 물리 시스템의 동역학 모델을 구축하는 데에 LSTM이 많이 도입되고 있고 개인적으로도 인공지능을 이용한 주식 거래 자동화에 관심이 있기 때문에 코딩 연습 겸 주가예측을 위한 간단한 LSTM 코드를 Tensorflow2로 구현해 보고자 한다. 참고로 특정 회사의 주가 데이터는 Yahoo finance 사이트의 Historical Data에 가면 다운로드 받을 수 있다.    예를 들어 특정 기간의.. 2023. 5. 19.
판다스(Pandas)에서 CSV파일 읽기 CSV(comma-separated values) 파일은 데이터를 쉼표로 분리된 테이블로 저장한 텍스트 파일이다. 예를 들면 다음과 같은 것이다. 이름, 회사, 직책, 생년월일 대조영, 대우상사, 과장, 1990-02-01 왕건, 미래바이오, 부장, 1981-09-17 이성계, 오성텔레콤, 대리, 2000-05-15 판다스(Pandas) 라이브러리의 read_csv() 함수를 이용하면 CSV파일을 읽어서 판다스의 데이터 구조인 DataFrame 타입으로 저장할 수 있다. read_csv() 함수의 주요 인자는 다음과 같다. import pandas as pd data = pd.read_csv(file_path, thousands=’,’, header=None) thousands는 천 단위로 쉼표로 끊어져.. 2023. 5. 18.
[VAE] beta-VAE 앞서 살펴본 바와 같이(https://pasus.tistory.com/263) VAE의 손실함수는 복원손실 항과 정규화 손실 항으로 구성된다. 식 (1)의 VAE 손실함수에서 첫번째 항인 복원손실은 복원(reconstruction)된 데이터가 원본 데이터와 얼마나 유사한지를 나타내는 오차다. 원본 데이터의 확률분포에 따라서 원본 데이터와 복원된 데이터 간의 교차 엔트로피나 L2 놈(norm)을 사용하여 복원손실을 계산할 수 있다. 두번째 항인 정규화(regularization) 손실은 고차원 입력 데이터를 저차원 잠재변수 공간(latent space)으로 인코딩할 때 잠재변수의 확률분포가 사전에(prior) 규정한 확률분포 \(p(\mathbf{z})\) 와 얼마나 유사한지를 계산하는 KL발산(Kullb.. 2023. 5. 11.
[VAE] 변이형 오토인코더(Variational Autoencoder) 생성모델(generative model)은 데이터를 생성해 낼 수 있는 모델을 말한다. 만약 데이터의 확률분포 \(-\) 데이터가 이산적일 경우는 확률질량함수(probability mass function), 연속적일 경우는 확률밀도함수(probability density function) \(-\) 를 알 수 있으면 샘플링을 통해서 본래 데이터와 같은 확률적 특성을 갖는 새로운 데이터를 임의로 생성할 수 있으므로, 생성모델의 목적은 데이터의 확률분포를 추정하는 것이라고 말할 수 있다. 예를 들면 데이터로서 얼굴 이미지 집합이 주어졌을 때, 그 이미지의 특성을 나타내는 확률밀도함수를 추정할 수 있다면, 새로운 얼굴 이미지를 임의로 생성할 수 있다는 말이다. 생성모델은 고차원(high dimension) .. 2023. 4. 30.

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