전체 글383 라그랑지 행성 방정식 (Lagrange Planetary Equation) 이체문제는 우주에는 두 개의 질점만 존재하며, 중력이 두 질점 사이에 작용하는 유일한 힘이라는 가정을 기반으로 한다. 이체문제에서 이 힘을 제외한 모든 힘을 섭동력(perturbation force)이라고 한다. 두 질점 운동의 일반적인 섭동력에는 비구형 중심체, 대기 항력, 추진 추력, 태양 복사 압력, 제3의 질점에 의한 중력 등이 있다. 섭동력은 이체문제의 케플러 궤도에 교란을 가하여 정상적인 궤도에서 벗어나는 현상을 초래한다. 파라미터 변분법(VOP, variation of parameters)은 섭동력에 의해 교란된 동적 시스템의 풀이에 적합한 방법이다. 이 방법은 교란되지 않은 시스템 해(solution)의 상수(constant) 파라미터를 시변(time-varying) 파라미터로 일반화할 수.. 2024. 8. 28. [Continuous-Time] 밸런싱 변환을 이용한 모델 차원 축소 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align}\dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &= C\mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 이 LTI 시스템은 제어가능(controllable)하고 관측가능(observable)하며 안정(stable)하다고 가정한다. 그러면 이 시스템의 무한 제어가능성 그래미안(infi.. 2024. 8. 8. [Continuous-Time] 관측가능성과 제어가능성의 관계 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align}\] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력, \(\mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q\) 는 출력이다. 주요 제어가능성(controllability) 정리의 의하면 시스템 \((A, B)\) 가 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 제어가능성 행렬 \(Q_c\) 의 랭크(rank)가 \(n\) .. 2024. 8. 1. [Continuous-Time] 관측가능성 (Observability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} &= A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \\ \\ \mathbf{y} &=C \mathbf{x}+D \mathbf{u} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력, \( \mathbf{y}(t) \in \mathbb{R}^q \) 는 제어입력이다. 만약 미지의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)\) 에 대해 시간 범위 \(t \in [0, \ t_1]\) 에서의 입력 \(\mathbf{u}(t)\) 와 출력 \(.. 2024. 7. 31. [Continuous-Time] 최소에너지 제어와 그래미안 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 방정식 (1)의 해는 다음과 같다. \[ \mathbf{x}(t)=e^{At} \mathbf{x}(0)+ \int_0^t e^{A(t-\tau)} B \mathbf{u}(\tau) \ d \tau \tag{2} \] 이 시스템이 제어가능(controllable)하다면 유한 시간 \(t_1 \lt \infty\) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)= \mathbf{x}.. 2024. 7. 29. [Continuous-Time] 제어가능성 그래미안 시스템 \((A, B)\) 의 제어가능성 그래미안(controllability gramian) \(W_c\) 는 다음과 같이 정의한다 (참고로 여러 문헌을 보면 그래미안을 grammian 으로 표기 한 것도 있고 gramian 으로 표기 한 것도 있다). \[ W_c (t)= \int_0^t e^{A \tau} BB^T e^{A^T \tau} \ d \tau \tag{1} \] 시스템이 제어가능하기 위한 필요충분 조건은 임의의 \(t \gt 0\) 에 대해서 \(W_c (t) \gt 0\) 이라는 것은 이미 증명하였다 (https://pasus.tistory.com/336). 식 (1)의 그래미안 행렬은 다음 미분방정식의 해다. \[ \dot{W}_c (t)=AW_c+W_c A^T+BB^T,.. 2024. 7. 25. [Continuous-Time] 안정성과 리야프노프 방정식 행렬 \(A\) 의 모든 고유값이 음의 실수부를 갖는다면 행렬 \(A\) 는 안정(stable)하다고 한다. 만약 행렬 \(A\) 가 안정하다면 다음 리야프노프 방정식(Lyapunov equation), \[ A^T P+PA=-N \tag{1} \] 은 모든 행렬 \(N\) 에 대해서 유일해를 갖고, 그 해는 다음과 같다. \[ P= \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} \ dt \tag{2} \] 증명은 다음과 같다. 먼저 식 (2)를 (1)에 대입한다. \[ \begin{align}A^T P+PA &= \int_0^\infty A^T e^{A^T t} N e^{At} \ dt + \int_0^\infty e^{A^T t} N e^{At} .. 2024. 7. 25. [Continuous-Time] 제어가능성과 PBH 테스트 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u} \tag{1} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 이 시스템이 제어불가능하다면 제어불가능한 고유값(uncontrollable eigenvalue)이 존재한다 (https://pasus.tistory.com/337). 그렇다면 구체적으로 \(A\) 의 고유값 중 어떤 값이 제어불가능한 고유값일까. 이를 판별하기 위한 방법으로 PBH 테스트(Popov-Belevitch-Hautus test)가 있다. PBH 테스트에 의하면, 어떤 복소수 .. 2024. 7. 24. [Continuous-Time] 제어가능한 부분공간 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}}=A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \end{align} \] 여기서 \(\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\) 는 상태변수, \(\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p\) 는 제어입력이다. 이 시스템의 제어가능한 부분공간(controllable subspace) \(\chi_c\) 는 제어가능성 행렬(controllability matrix)의 레인지(range, 치역)로 정의한다. \[ \begin{align} \chi_c=range(Q_c) \tag{2} \end{align} \] 여기서 제어가능성 행렬 \(Q_c\) 는.. 2024. 7. 23. [Continuous-Time] 제어가능성 (Controllability) 다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} =A \mathbf{x}+B \mathbf{u} \tag{1} \end{align} \] 여기서 \( \mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n \) 는 상태변수, \( \mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^p \) 는 제어입력이다. 만약 유한 시간 \( t_1 \lt \infty \) 안에 임의의 초기 상태 \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\) 에서 임의의 목표 상태(target state) \( \mathbf{x}(t_1 )=\mathbf{x}_1\) 으로 시스템의 상태를 움직이도록 하는 제어입력 \(\mathbf{u}(t), \ t \in .. 2024. 7. 16. 케일리-해밀톤 정리 (Cayley-Hamilton Theorem) 정방 행렬 또는 정사각형 행렬 (square matrix) \(A \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 의 특성 다항식(characteristic polynomial)은 다음과 같이 정의된다. \[ \begin{align} \Delta (\lambda)= \det (\lambda I-A)= \lambda^n+c_{n-1} \lambda^{n-1}+ \cdots +c_1 \lambda+c_0 \tag{1} \end{align} \] 참고로 특성 방정식 \(\Delta (\lambda)=0\) 의 해는 행렬 A의 고유값(eigenvalue)이다. 행렬 \(A\) 의 특성 다항식은 식 (1)과 계수가 똑같은 행렬 다항식으로서 다음과 같이 정의된다. \[ \begin{align} \Del.. 2024. 7. 14. 두빈스 경로 (Dubins Path) - 2 RSL 경로는 시작점 \(\mathbf{p}_1\) 에서 오른쪽 원을 타고 우회전한 다음 직진하고 끝점 \(\mathbf{p}_2\) 에 도착할 때까지 왼쪽에 접한 원에서 다시 좌회전하는 것으로 구성된다. 아래 그림에는 원호에서 직선으로의 전환점인 풀아웃(pull-out) 지점 \(\mathbf{q}_1\) 과 직선에서 원호로 전환점인 휠오버(wheel-over) 지점 \(\mathbf{q}_2\) 와 이를 연결하는 직선을 각각 보여준다. 풀아웃 지점 \(\mathbf{q}_1\) 과 휠오버 지점 \(\mathbf{q}_2\) 는 다음과 같이 계산할 수 있다. \[ \begin{align} \mathbf{q}_1 &= \mathbf{c}_1 + ( \mathbf{q}^\prime_1 - \math.. 2024. 5. 25. 두빈스 경로 (Dubins Path) - 1 평면상에서 시작점과 끝점을 연결하는 최단거리 경로를 구하려고 한다. 단 시작점과 끝점에서 각각 출발 방향과 도착 방향이 정해져 있고 경로가 가질 수 있는 최대 곡률(curvature)에 제한이 있는 경우다. 이 문제는 제약조건이 있는 최적화 문제로서 최단거리 경로는 최대 곡률을 갖는 원형 호와 직선을 결합하여 만들어진다는 것이 증명되었다. 이 최단거리 경로를 두빈스 경로 (Dubins path)라고 한다. 두빈스 경로는 기하학적인 방법으로 간단히 생성할 수 있기 때문에 이동 로봇, 드론, 무인 잠수정 등의 운동체 경로 계획 방법으로 널리 사용되고 있다. 두빈스 경로는 CSC 또는 CCC 경로 중 하나다. 여기서 C는 원호(circular arc), S는 직선(straight line)을 나타낸다. CCC.. 2024. 5. 25. 다중 슈팅방법 (Multiple Shooting Method) 예제 Ascher의 책 'Computer Methods for Ordinary Dierential Equations and Dierential-Algebraic Equations' 에 나와 있는 예제를 다중 슈팅방법(multiple shooting method)을 이용하여 풀어보고자 한다. 미분방정식은 다음과 같다. \[ \begin{align} \dot{\mathbf{x}} = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -2 \lambda^3 & \lambda^2 & 2 \lambda \end{bmatrix} \mathbf{x}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ q(t) \end{bmatrix} \tag{1} \end{align} \] 여기서 \(\math.. 2024. 5. 14. 이전 1 2 3 4 5 6 7 ··· 28 다음
