[DI-2] 내부 동역학 (Internal Dynamics)

다음과 같은 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$, $\mathbf{y}(t)\in {\mathbb{R}}^p$ 인 정방형 선형 시스템에 대해서

 

$$\begin{array}{r}\text{(1)}& & \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\\ & \mathbf{y}=C\mathbf{x}\end{array}$$

 

DI(Dynamic Inversion, 모델 역변환) 제어입력은 다음과 같이 계산되었다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \mathbf{u}=(CB{)}^{-1}(\nu -CA\mathbf{x})\end{array}$$

 

여기서 $\nu$ 는 보조입력(auxiliary input)이다.

 

 

 

식 (2)를 (1)에 대입하면 폐루프(closed-loop) 제어 시스템의 동역학을 얻을 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(3)}& \dot{\mathbf{x}}& =A\mathbf{x}+B(CB{)}^{-1}(\nu -CA\mathbf{x})\\ & =[I-B(CB{)}^{-1}C]A\mathbf{x}+B(CB{)}^{-1}\nu \\ \\ & =A_{DI}\mathbf{x}+B_{DI}\nu \\ \\ \mathbf{y}& =C\mathbf{x}\end{array}$$

 

DI 제어를 통해 폐루프 시스템의 동역학은 외부($\nu$ 와 $\mathbf{y}$) 루프와 내부(피드백 선형화) 루프로 분해된다.

 

내부 루프의 기능은 $\nu$ 부터 $\mathbf{y}$ 까지의 신호 흐름이 원점에 극점(pole)이 $p$ 개 있는 적분기와 같게 만드는 것이다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(4)}& \dot{\mathbf{y}}& =CA\mathbf{x}+CB(CB{)}^{-1}(\nu -CA\mathbf{x})\\ & =\nu \end{array}$$

 

외부 루프는 $\nu$ 와 $\mathbf{y}$ 사이의 선형 관계로 구성되므로 출력 $\mathbf{y}$ 가 원하는 대로 동작하도록 입력 $\nu$ 를 설계하는 것은 쉽다. 가장 간단한 예로서

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \nu =\dot{\mathbf{r}}+K(\mathbf{r}-\mathbf{y})=\dot{\mathbf{r}}+K\mathbf{e}\end{array}$$

 

가 있었다. 여기서 $\mathbf{r}(t)$ 와 $\dot{\mathbf{r}}(t)$ 는 기준 응답과 그 변화율이다.

문제는 내부 동역학(internal dynamics)도 잘 작동하는지 여부, 즉 내부 상태가 안정(stable)한지 여부다. 제어기 설계는 전체 동역학을 고려해야 하므로 내부 동역학 또한 안정해야 한다. 내부 동역학이 불안정하다면 비록 추종오차가 $0$ 이더라도 실질적으로 의미가 없는 제어기가 된다.

식 (3)에서 상태변수의 차원이 $n$ 이고 오차 동역학의 차원이 $p$ 이므로 행렬 $A_{DI}=[I-B(CB{)}^{-1}C]A$ 의 고유값(eigenvalue)은 원점에 있는 $p$ 개의 극점과 $(n-p)$ 개의 내부 동역학 극점(pole) 구성되어 있다. 식 (3)과 (4)에서 오차 동역학은 안정화 시킬 수 있으므로, 즉 외부 루프 제어로 원점에 있는 $p$ 개의 극점은 복소평면의 왼쪽 영역(LHP)으로 이동시킬 수 있으므로, 식 (4)로부터 기준 응답 변화율 $\dot{\mathbf{r}}$ 이 유한하다면 $\nu$ 도 유한하다. 따라서 시스템 (3)의 안정성은 내부 동역학의 극점의 위치 또는 내부 루프로 극점을 복소평면의 왼쪽 영역으로 이동시킬 수 있는 지에 달려있다.

입력-출력 관계에서 외부 루프의 극점만 있고 내부 동역학 극점이 보이지 않으므로 행렬 $A_{DI}$ 의 고유값 중에서 내부 동역학의 극점이 시스템 (1)의 전달 영점(transmission zero, MIMO 시스템의 영점)과 서로 상쇄(pole-zero cancelation)되었다는 것을 알 수 있다. 따라서 내부 운동 모드는 출력 $\mathbf{y}(t)$ 를 사용하여 관측할 수도 없고(unobservable) DI(동적 역변환) 접근법을 사용하여 제어할 수도 없는(uncontrollable) 모드다. 결국 내부 동역학의 극점은 이동시킬 수 없기 때문에 시스템 (1)의 전달 영점의 위치가 DI(동적 역변환) 제어 시스템의 안정성을 결정한다.

먼저 시스템 (1)의 전달 영점이 행렬 $A_{DI}$ 의 내부 동역학의 극점과 같다는 것을 증명해보자. 영점은 피드백 제어로 이동시킬 수 없기 때문에 시스템 (1)의 전달 영점은 시스템 (3)의 전달 영점과 같으므로 영점이 내부 동역학의 극점과 같다면 영점과 극점이 서로 상쇄되었다는 것이 증명된다.

 

 

 

원래 시스템 (1)의 전달 영점은 다음 식을 만족하는 $s$ 값으로 정의된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \left[\begin{array}{cc}sI-A& -B\\ C& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_0\\ {\mathbf{u}}_0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_0\\ {\mathbf{u}}_0\end{array}\right]\ne 0\end{array}$$

 

여기서 벡터 ${\mathbf{x}}_0$ 및 ${\mathbf{u}}_0$ 은 영점과 관련된 입력 방향을 나타낸다. 이 시스템은 $D=0$ 이므로 극점보다 전달 영점 갯수가 적다. 위 정의에 의하면 벡터 ${\mathbf{x}}_0$ 는 행렬 $C$ 의 영공간(null space)에 있다는 것을 알 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(7)}& & (sI-A){\mathbf{x}}_0=B{\mathbf{u}}_0\\ & C{\mathbf{x}}_0=0\end{array}$$

 

위 식의 첫번째 식에 행렬 $C$ 를 곱하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(8)}& & C(sI-A){\mathbf{x}}_0=CB{\mathbf{u}}_0\\ & {\mathbf{u}}_0=(CB{)}^{-1}(sC{\mathbf{x}}_0-CA{\mathbf{x}}_0)=-(CB{)}^{-1}CA{\mathbf{x}}_0\end{array}$$

 

식 (8)을 (7)에 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& & (sI-A){\mathbf{x}}_0=-B(CB{)}^{-1}CA{\mathbf{x}}_0\\ & (sI-(I-(B(CB{)}^{-1}C)A){\mathbf{x}}_0=0\\ \\ & \to det(sI-A_{DI})=0\end{array}$$

 

따라서 원래 시스템의 전달 영점은 모두 행렬 $A_{DI}$ 의 고유값이다. 그러나 이들은 전체 고유값 세트를 나타내지 않고 입력-출력 동역학에서 볼 수 없는 $(n-p)$ 개의 모드만 나타낸다. 식 (9)에 의하면 원래 시스템의 전달 영점이 DI(동적 역변환)의 내부 동역학의 극점임을 보여준다. 따라서 원래 시스템이 비최소 위상(NMP, nonminimum phase) 시스템인 경우 DI 를 적용하면 NMP 영점에 해당하는 불안정 모드를 생성하게 된다.

따라서 DI(동적 역변환)가 성공적으로 작동하려면 내부 동역학이 안정적이도록 출력 또는 제어변수(controlled variable) $\mathbf{y}(t)$ 를 잘 선택해야 한다. 선택한 출력 행렬 $C$ 에 대해 행렬 $A_{DI}$ 를 계산하고 고유값을 찾아 확인하여, 안정적이지 않으면 새로운 제어변수 $\mathbf{y}(t)$, 또는 행렬 $C$ 를 다시 선택해야만 한다.

이번에는 내부 동역학의 모드가 관측할 수도 없고(unobservable) 제어할 수도 없는(uncontrollable) 모드라는 것을 증명해 보자. 행렬 $P$ 를 다음과 같이 정의하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(10)}& P=I-B(CB{)}^{-1}C\end{array}$$

 

$P^2=P$ 이므로 $P$ 는 투사(projection) 행렬이 된다. 또한

 

$$\begin{array}{r}\text{(11)}& & PB=[I-B(CB{)}^{-1}C]B=0\\ & CP=C[I-B(CB{)}^{-1}C]=0\end{array}$$

 

이므로 행렬 $P$ 는 행렬 $C$ 의 영공간(null space)으로 투사함($P\mathbf{a}=\mathbf{b}\to C\mathbf{b}=CP\mathbf{a}=0$) 과 동시에 제어입력 $\mathbf{u}(t)$ 가 운동 모드에 어떤 영향도 미치지 못하는 공간으로 투사하는 ($PB=0\to P(B\mathbf{u})=0$) 행렬이다. 따라서 $A_{DI}=PA$ 는 행렬 $C$ 의 영공간에 있고 제어입력 $\mathbf{u}(t)$ 가 영향을 미치지 못하는 공간에서의 운동 모드를 갖는다. 이는 곧 제어할 수도 없고 관측할 수도 없는 모드를 의미한다.

비선형 시스템에서는 내부 동역학의 안정성을 결정하기 위해서 제로 동역학(zero dynamics)이라는 개념을 사용한다. 제로 동역학을 도입하는 이유는 내부 동역학의 안정성을 결정하는데 상대적으로 더 간단하기 때문이다. 제로 동역학은 시스템 출력이 입력에 의해 $0$ 으로 유지될 때 시스템의 내부 동역학으로 정의된다. 선형 시스템의 제로 동역학을 구하기 위해 시스템 출력을 $\mathbf{y}=\dot{\mathbf{y}}=0$ 으로 놓으면 식 (4)에서 $\nu =0$ 이다. 따라서 식 (3)에 의하면 제로 동역학은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \dot{\mathbf{x}}=[I-B(CB{)}^{-1}C]A\mathbf{x}=A_{DI}\mathbf{x}\end{array}$$

 

따라서 선형 시스템에서 제로 동역학의 안정성은 위에서 논한 바와 같이 행렬 $A_{DI}$ 의 고유값에 달려있다.