진동 모드 해석

복소수는 실수부와 허수부를 갖는 수체계다.

 

 

실수부를 $x$축에, 허수부를 $y$축에 표시하면 복소수를 복소 평면상에 표시할 수 있다. 복소수는 보통 실수부와 허수부로 표현하지만 다음과 같이 크기와 위상각으로도 표현할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}z& =x+jy\\ \\ & =r\cos \theta +jr\sin \theta \end{array}$$

 

 

 

여기서 $r$은 복소수의 크기, $\theta$는 위상각이며 각각 다음과 같이 계산할 수 있다.

 

$$r=\sqrt{x^2+y^2},\theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)$$

 

오일러 공식(Euler formula)에 의하면 다음 식이 성립하므로,

 

$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

 

복소수는 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$z=r{e}^{j\theta }$$

 

두 개의 복소수 $z_1$과 $z_2$의 곱셈을 구할 때는 다음과 같이 복소수를 크기와 위상각으로 표현하여 계산하는 것이 편리하다.

 

$$\begin{array}{rl}{z}_1{z}_2& =r_1{e}^{j{\theta }_1}{r}_2{e}^{j{\theta }_2}\\ \\ & =r_1{r}_2{e}^{j({\theta }_1+{\theta }_2)}\end{array}$$

 

곱셈의 결과 복소수의 크기는 두 복소수의 크기를 곱한 것과 같고 위상각은 더한 것과 같다.

일반적인 정방 행렬에서 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)는 복소수 값을 가질 수 있다. 만약 실수 행렬이라면 고유값과 고유벡터가 복소수일때, 그 켤레 복소수(complex conjugate)도 고유값과 고유벡터가 된다. 증명은 다음과 같다.

먼저 정방 행렬 $A$의 고유값과 고유벡터는 다음과 같이 정의된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}\end{array}$$

 

여기서 $\lambda$는 고유값, $\mathbf{v}$는 그에 대응하는 고유벡터다. 켤레 복소수를 사용하면 위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& \overline{A}\overline{\mathbf{v}}=\overline{\lambda }\overline{\mathbf{v}}\end{array}$$

 

여기서 바(bar)는 켤레 복소수를 나타내는 기호이다. $A$는 실수 행렬이므로 위 식은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& A\overline{\mathbf{v}}=\overline{\lambda }\overline{\mathbf{v}}\end{array}$$

 

식 (3)에 의하면 $A$가 실수 행렬인 경우, $\lambda$와 $\mathbf{v}$가 고유값과 고유벡터이면 그 켤레 복소수와 켤레 복소 벡터인 $\overline{\lambda }$와 $\overline{\mathbf{v}}$도 고유값과 고유벡터가 되는 것을 알 수 있다.

상태변수의 미분 방정식으로 표현되는 어떤 시스템의 운동 방정식,

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}\end{array}$$

 

의 해는 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& \mathbf{x}(t)=c_1{\mathbf{v}}_1{e}^{{\lambda }_{1}t}+c_2{\mathbf{v}}_2{e}^{{\lambda }_{2}t}\end{array}$$

 

여기서 $A$는 $2\times 2$ 실수 행렬이며 $c_1,c_2$는 미지의 상수이고, ${\lambda }_1,{\lambda }_2$와 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$는 각각 행렬 $A$의 고유값과 고유벡터다. 행렬 $A$의 고유값과 고유벡터로 구성된 ${\mathbf{v}}_i{e}^{{\lambda }_{i}t}$를 $i$ 번째 운동 모드라고 한다.

그런데 여기서 고유값이 복소수로 나오면 어떻게 될까.

 

 

식 (5)에서 고유값 ${\lambda }_1,{\lambda }_2$가 다음과 같이 켤레 복소수이라고 가정해 보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& {\lambda }_1=\sigma +j\omega ,{\lambda }_2={\overline{\lambda }}_1=\sigma -j\omega \end{array}$$

 

그러면 고유값에 대응하는 고유벡터도 서로 켤레 복소수인 벡터가 된다. 곱셈에서는 복소수를 크기와 위상각 형태로 쓰는 것이 유리하므로 고유벡터는 다음과 같이 표현한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}{M}_1{e}^{j{\theta }_1}\\ M_2{e}^{j{\theta }_2}\end{array}\right],{\mathbf{v}}_2={\overline{\mathbf{v}}}_1=\left[\begin{array}{c}{M}_1{e}^{-j{\theta }_1}\\ M_2{e}^{-j{\theta }_2}\end{array}\right]\end{array}$$

 

상태변수 벡터 $\mathbf{x}(t)$는 실수값을 가져야 하므로 식 (5)의 미지 상수 $c_1,c_2$도 켤레 복소수이어야 한다. 따라서 미지 상수도 각각 크기와 위상각 형태로 표현한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& c_1=M_c{e}^{j{\theta }_c},c_2=M_c{e}^{-j{\theta }_c}\end{array}$$

 

이제 식 (6), (7), (8)을 식 (5) 대입하면 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& \mathbf{x}(t)& =c_1{\mathbf{v}}_1{e}^{(\sigma +j\omega )t}+{\overline{c}}_1{\overline{\mathbf{v}}}_1{e}^{(\sigma -j\omega )t}\\ & =e^{\sigma t}\{M_c{e}^{j{\theta }_c}\left[\begin{array}{c}{M}_1{e}^{j{\theta }_1}\\ M_2{e}^{j{\theta }_2}\end{array}\right]e^{j\omega t}+M_c{e}^{-j{\theta }_c}\left[\begin{array}{c}{M}_1{e}^{-j{\theta }_1}\\ M_2{e}^{-j{\theta }_2}\end{array}\right]e^{-j\omega t}\}\\ \\ & =e^{\sigma t}{M}_c\left[\begin{array}{c}{M}_1(e^{j(\omega t+{\theta }_1+{\theta }_c)}+e^{-j(\omega t+{\theta }_1+{\theta }_c)})\\ M_2(e^{j(\omega t+{\theta }_2+{\theta }_c)}+e^{-j(\omega t+{\theta }_2+{\theta }_c)})\end{array}\right]\\ \\ & =2e^{\sigma t}{M}_c\left[\begin{array}{c}{M}_1\cos (\omega t+{\theta }_1+{\theta }_c)\\ M_2\cos (\omega t+{\theta }_1+{\theta }_c)\end{array}\right]\end{array}$$

 

식 (9)에 의하면 고유값이 복소수일 때 시스템은 진동하며 진동 주파수 $\omega$는 고유값의 허수부값이고 진동의 크기는 실수부 값의 지수함수 $e^{\sigma t}$에 비례한다. 따라서 시스템이 안정하려면 고유값의 실수부가 음수이어야 한다. 시스템의 진동 반응은 두 개의 켤레 고유값과 고유벡터가 결합하여 나온 것이므로, 이 경우는 한 개의 운동 모드로 본다.

$e^{\sigma t}$와 $M_c$는 모든 상태변수에서 동일하므로 진동 모드에서 상태변수 간의 상대적인 크기는 고유벡터가 결정한다. 고유벡터 ${\mathbf{v}}_1$의 각 성분의 크기와 위상각이 다음과 같을 때

 

$${\mathbf{v}}_1=\left[\begin{array}{c}{v}_{11}\\ v_{12}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{M}_1{e}^{j{\theta }_1}\\ M_2{e}^{j{\theta }_2}\end{array}\right]$$

 

상태변수의 상대적인 진동 크기는 다음 그림으로 표현할 수 있다.

 

 

시뮬레이션 예를 들어보자. 시스템의 운동 방정식과 초기값이 다음과 같을 때,

 

$$\left[\begin{array}{c}{\dot{x}}_1\\ {\dot{x}}_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}-1& 2\\ -2& -1\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right],\left[\begin{array}{c}{x}_1(0)\\ x_2(0)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$$

 

고유값과 고유벡터는 각각 다음과 같다.

 

$${\lambda }_{1,2}=-1\pm 2,v_{1,2}=\left[\begin{array}{c}\mp j\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right]$$

 

시스템의 반응은 다음 그림과 같이 감쇠있는 진동 운동을 한다.

 

 

운동 방정식 (4)에서 $A$가 일반적인 $n\times n$ 실수 행렬인 경우에는 여러가지 조합의 운동 모드가 나올 수 있다.

예를 들어 $A$가 $4\times 4$ 실수 행렬인 경우에는 고유값이 $2$쌍의 켤레 복소수로 나올 수도 있다. 이 경우의 운동 모드는 $2$개로 모두 진동 모드이다.

만약 고유값이 켤레 복소수 $1$쌍과 두 개의 실수로 나온다면 $3$개의 운동 모드가 나오며 그 중 $1$개는 진동 모드다.

고유값이 모두 실수값으로 나온다면 진동 없는 $4$개의 운동 모드가 있는 것이다.