조건부 확률

사건 \( B \)가 발생한 조건에서 사건 \( A \)가 발생할 확률을 사건 \( A \)의 조건부 확률(conditional probability)이라고 하고, 다음과 같이 정의한다.

 

\[ P\{ A| B \} = \frac{P \{A, B \} } {P \{ B \}} \]

 

다음 그림에서 보듯이 조건부 확률은 사건 \( A \)이기도 하면서 동시에 사건 \( B \)이기도 한 사건(곱사건이라고 한다)이 발생할 확률과 사건 B만 발생할 확률의 비로 주어진다.

 

 

즉,

 

\[ \frac{ 노란색 \ 영역 \ 확률} { (노란색 \ + \ 녹색) \ 영역 \ 확률 } \]

 

이다. 이와 같은 조건부 확률 정의는 상식에 부합한다.

 

 

예를 들어 보자.
주사위 놀이에서 홀수가 나올 사건을 \( A \), \( 4 \)보다 작은 수가 나올 사건을 \( B \)라 할 때, 조건부 확률 \( P\{ A|B \} \)를 구해보자. 상식적으로는 \( 4 \)보다 작은 수가 나올 사건, 즉 \( \{1, 2, 3 \} \)중에서 홀수가 나올 사건, 즉 \( \{1, 3 \} \)이 나올 확률이므로 확률은 \( 2/3 \)이다. 이번에는 위 공식을 적용해 조건부 확률을 구해보자. 먼저, 사건 \( B \)의 확률은 \( P \{ B \} =1/2 \) 이다. 사건 \( A \)와 \( B \)의 교집합은 \( \{1, 3 \} \)이므로 두 사건의 곱사건 확률은 \( P \{A,B \}=1/3 \) 이다. 따라서 사건 \( B \)가 발생한 조건에서 사건 \( A \)가 발생할 조건부 확률은 다음과 같이 계산된다.

 

\[ P\{ A| B \} = \frac{P \{A, B \} } {P \{ B \}} =\frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3} \]

 

공리에 의해서 전체 표본공간 \( S \)의 확률은 \( 1 \)이기 때문에 사건 \( A \)의 확률도 다음과 같이 사건 \( S \)가 발생한 조건에서 사건 \( A \)가 발생할 확률인 조건부 확률로 쓸 수 있다.

 

\[ P\{ A| S \} = \frac{P \{A, S \} } {P \{ S \}} =\frac{P\{ A \}}{1} = P \{ A \} \]

 

따라서 다음 그림과 같이 사건 A가 발생할 확률은

 

\[ \frac{ 노란색 \ 영역 \ 확률} { (노란색 \ + \ 녹색) \ 영역 \ 확률 } \]

 

가 된다.

 

 

따라서 조건부 확률 \( P \{ A|B \)} \)는 전체 표본공간이 사건 \( B \)로 축소되었다고 생각하면 된다.

다음으로 조건으로 삼을 만한 사건이 하나 더 있는 경우를 살펴보자. 이 사건을 \( C \)라고 하자. 그러면 사건 \( B \)이기도 하면서 동시에 사건 \( C \)이기도 한 사건이 발생한 조건에서 사건 \( A \)가 발생할 조건부 확률 \( P \{A|B,C \} \)는 다음 그림과 같이

 

\[ \frac{ 노란색 \ 영역 \ 확률} { (노란색 \ + \ 녹색) \ 영역 \ 확률 } \]

 

가 된다.

 

수식으로 쓰면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} P\{ A| B, C \} &= \frac{P \{A, B, C \} } {P \{ B, C \}} \\ \\ &= \frac{ P\{ A, B|C \} P \{ C \} }{P \{B|C \} P \{ C \} } \\ \\ &= \frac{P \{ A, B|C \} }{ P \{ B|C \} } \end{align} \]