[Continuous-Time] LTI 시스템과 인과 시스템

LTI시스템의 출력은 다음과 같이 입력과 임펄스 반응의 컨볼루션으로 주어진다.

 

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}u(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

 

여기서 $h(t-\tau )$ 는 시간 $\tau$ 에서 시스템에 임펄스를 입력으로 가했을 때 시간 $t$ 에서의 출력이다.

 

 

그런데 여기서 $t<\tau$ 일 때 $h(t-\tau )$ 의 값이 $0$ 이 아니라면 조금 이상한 일이 벌어진다. 임펄스를 입력으로 가하기 이전에 그 결과인 임펄스 반응이 시간적으로 먼저 나오는 것으로 해석되기 때문이다.

 

 

이것은 인과 법칙에 위배된다. 원인이 앞서고 결과가 뒤따르는게 순리적으로 맞기 때문이다. 원인이 결과에 앞서는 시스템을 인과(causal) 시스템이라고 한다. 모든 물리 시스템은 인과 시스템이다. 따라서 인과 시스템이라면 임펄스 반응은 다음과 같이 되어야 한다.

 

$$h(t-\tau )=0,t<\tau$$

 

또는

 

$$h(t)=0,t<0$$

 

 

 

LTI 시스템의 출력을 보면 적분 구간이 $\tau =-\mathrm{\infty }$ 에서 $\mathrm{\infty }$ 로 되어 있다. 시스템이 인과 시스템이라면 적분 구간 중 $\tau =t$ 에서 $\mathrm{\infty }$ 까지는 $t<\tau$ 인 구간이므로 $h(t-\tau )=0$ 이 되어야 한다. 따라서 인과 시스템인 LTI 시스템의 출력은 다음과 같이 수정되야 한다.

 

$$y(t)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{t}u(\tau )h(t-\tau )d\tau$$

 

다시 위 식을 살펴보면 입력 $u(\tau )$ 가 시스템에 가해지는 시간이 $\tau =-\mathrm{\infty }$ 부터 시작하고 있음을 알 수 있다. 시불변 시스템인 경우는 입력의 시점 따라 시스템의 출력이 바뀌지 않기 때문에 입력의 시점을 굳이 $\tau =-\mathrm{\infty }$ 부터 시작할 이유는 없다. 보통 시불변 시스템의 경우 편의상 입력의 시작 시점을 $\tau =0$ 으로 본다. 즉

 

$$u(\tau )=0,\tau <0$$

 

이렇게 가정한다면 인과 LTI 시스템의 출력은 다음과 같이 수정돼야 한다.

 

$$y(t)={\int }_0^{t}u(\tau )h(t-\tau )d\tau$$