[Continuous-Time] 제어가능한 부분공간

다음과 같은 선형 시불변(LTI) 시스템이 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \dot{\mathbf{x}}=A\mathbf{x}+B\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\mathbf{x}(t)\in {\mathbb{R}}^n$ 는 상태변수, $\mathbf{u}(t)\in {\mathbb{R}}^p$ 는 제어입력이다. 이 시스템의 제어가능한 부분공간(controllable subspace) ${\chi }_c$ 는 제어가능성 행렬(controllability matrix)의 레인지(range, 치역)로 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\chi }_c=range(Q_c)\end{array}$$

 

여기서 제어가능성 행렬 $Q_c$ 는 다음과 같이 정의한 바 있다 (https://pasus.tistory.com/336).

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& Q_c=\left[\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{n\times np}\end{array}$$

 

만약 상태벡터가 제어가능한 부분공간 어느 지점에서 시작하면 제어입력에 관계없이 상태벡터는 항상 제어가능한 부분공간에 머물러 있다. 즉, 제어입력은 제어가능한 부분공간 밖으로, 또는 제어불가능한 부분공간으로 상태를 이동시킬 수 없다.

 

 

증명은 다음과 같다.

방정식 (1)의 해는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& \mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}(0)+{\int }_0^t{e}^{A(t-\tau )}B\mathbf{u}(\tau )d\tau \end{array}$$

 

여기서 케일리-해밀톤 정리(https://pasus.tistory.com/335)에 의하면

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& e^{A(t-\tau )}=\sum _{i=0}^{n-1}{\beta }_i(\tau )A^i\end{array}$$

 

로 놓을 수 있으므로, 시스템의 해 (4)는 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(6)}& \mathbf{x}(t)-e^{At}\mathbf{x}(0)& ={\int }_0^t\sum _{i=0}^{n-1}{\beta }_i(\tau )A^{i}B\mathbf{u}(\tau )d\tau \\ & =\sum _{i=0}^{n-1}{A}^{i}B{\mathbf{w}}_i(t)\end{array}$$

 

여기서 ${\mathbf{w}}_i(t)={\int }_0^t{\beta }_i(\tau )\mathbf{u}(\tau )d\tau$ 이다. 위 식에 의하면 $\mathbf{x}(0)$ 가 $range(Q_c)$ 안에 있으면 $\mathbf{x}(t)$ 도 $range(Q_c)$ 안에 머물러 있다. 만약 $rank(Q_c)=n$ 이라면 $n$ 차원 상태공간 전체가 제어가능한 공간이 되지만 $rank(Q_c)=n_c<n$ 이라면 $n_c$ 차원 제어가능한 부분공간과 $(n-n_c)$ 차원의 제어불가능한 부분공간으로 분할할 수 있다.

증명은 다음과 같다.

변환행렬 $T$ 를 이용하여 상태변수 $\mathbf{x}$ 를 상태변수 $\tilde{\mathbf{x}}$ 로 변환한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& \mathbf{x}=T\tilde{\mathbf{x}}\end{array}$$

 

그러면 식 (1)은 다음과 같이 변환할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \dot{\tilde{\mathbf{x}}}=\tilde{A}\tilde{\mathbf{x}}+\tilde{B}\tilde{\mathbf{u}}\end{array}$$

 

여기서 $\tilde{A}=T^{-1}AT,\tilde{B}=T^{-1}B$ 이다. $A$ 와 $\tilde{A}$ 는 상사관계이므로 고유값은 서로 같다. 또한 시스템 (1)과 변환된 시스템 (8)의 제어가능성 특성은 동일하다. 확인해 보기 위해서 시스템 (8)의 제어가능성 행렬을 보면,

 

$$\begin{array}{rl}{\tilde{Q}}_c& =\left[\begin{array}{ccccc}\tilde{B}& \tilde{A}\tilde{B}& {\tilde{A}}^2\tilde{B}& \cdots & {\tilde{A}}^{n-1}\tilde{B}\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{ccccc}{T}^{-1}B& T^{-1}AB& T^{-1}{A}^{2}B& \cdots & T^{-1}{A}^{n-1}B\end{array}\right]\\ \\ & =T^{-1}{Q}_c\end{array}$$

 

이므로 $rank({\tilde{Q}}_c)=rank(Q_c)$ 이어서 제어가능성 특성이 동일하다.

 

 

식 (7)에서 변환행렬 $T$ 는 제어가능한 부분공간 ${\chi }_c$ 에서 $n_c$ 개의 기저 벡터를 선택하고 나머지 $(n-n_c)$ 개의 기저 벡터는 변환행렬 $T$ 가 직각행렬(orthogonal matrix, $T^{-1}=T^T$ )이 되도록 선택하여 구성한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(9)}& T& =\left[\begin{array}{cccccc}{\mathbf{t}}_1& \cdots & {\mathbf{t}}_{n_c}& {\mathbf{t}}_{n_c+1}& \cdots & {\mathbf{t}}_n\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}{T}_1& T_2\end{array}\right]\end{array}$$

 

이러한 특징을 가진 변환행렬은 $Q_c$ 를 QR분해하거나 특이값 분해(singular value decomposition)해서 얻을 수 있는데 여기서는 특이값 분해(https://pasus.tistory.com/15)를 이용한다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& Q_c& =U\mathrm{\Sigma }{V}^T\\ & =\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{\mathrm{\Sigma }}_{n_c}& 0\\ 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{V}_1^T\\ V_2^T\end{array}\right]\\ \\ & =\left[\begin{array}{cc}{U}_1& U_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}R\\ 0\end{array}\right]\\ \\ & =U_{1}R\end{array}$$

 

여기서 $U\in {\mathbb{R}}^{n\times n}$, $V\in {\mathbb{R}}^{np\times np}$, $\mathrm{\Sigma }\in {\mathbb{R}}^{n\times np}$, $U_1\in {\mathbb{R}}^{n\times n_c}$, $U_2\in {\mathbb{R}}^{n\times (n-n_c)}$, ${\mathrm{\Sigma }}_{n_c}\in {\mathbb{R}}^{n_c\times n_c}$, $R\in {\mathbb{R}}^{n_c\times np}$ 이다.

특이값 분해는 $U^{-1}=U^T$, $V^{-1}=V^T$ 인 특징이 있으므로 $T=U$ 로 선택한다. 그러면 식 (8)을 다음과 같이 분해할 수 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{x}}}_c\\ {\dot{\mathbf{x}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{T}_1^{T}A{T}_1& T_1^{T}A{T}_2\\ T_2^{T}A{T}_1& T_2^{T}A{T}_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_c\\ {\mathbf{x}}_u\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{T}_1^{T}B\\ T_2^{T}B\end{array}\right]\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $\tilde{\mathbf{x}}=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_c\\ {\mathbf{x}}_u\end{array}\right]$ 이다.

식 (10)에 의하면 $Q_c=\left[\begin{array}{cccc}B& AB& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]=T_{1}R$ 이므로 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{rl}\text{(12)}& & B=T_1{R}_1,& AB=T_1{R}_2,\\ & A^{2}B=T_1{R}_3,\\ & \cdots \\ & A^{n-1}B=T_1{R}_n\end{array}$$

 

여기서 $R=\left[\begin{array}{cccc}{R}_1& R_2& \cdots & R_n\end{array}\right]$ 이다. 또한 식 (10)에 의하면 $T_2^T{Q}_c=T_2^T{T}_{1}R=0$ 이다. 따라서

 

$$\begin{array}{r}\text{(13)}& T_2^T{Q}_c& =T_2^T\left[\begin{array}{cccc}B& AB{A}^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{ccccc}{T}_2^{T}B& T_2^{T}AB& T_2^T{A}^{2}B& \cdots & T_2^T{A}^{n-1}B\end{array}\right]\\ \\ & =0\end{array}$$

 

이다. 식 (12)를 이용하여 식 (13)의 각 항을 전개하면 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{rl}\text{(14)}& & T_2^{T}B=0& T_2^{T}AB=T_2^{T}A{T}_1{R}_1=0\\ & T_2^T{A}^{2}B=T_2^{T}A(AB)=T_2^{T}A{T}_1{R}_2=0\\ & \cdots \\ & T_2^T{A}^{n-1}B=T_2^{T}A{T}_1{R}_n=0\end{array}$$

 

식 (14)에 의하면 $T_2^{T}A{T}_1\left[\begin{array}{ccc}{R}_1& \cdots & R_n\end{array}\right]=T_2^{T}A{T}_{1}R=0$ 이므로 $T_2^{T}A{T}_1=0$ 이다. 따라서 식 (11)은 다음과 같은 형식이 된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(15)}& \left[\begin{array}{c}{\dot{\mathbf{x}}}_c\\ {\dot{\mathbf{x}}}_u\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{A}_{cc}& A_{cu}\\ 0& A_{uu}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\mathbf{x}}_c\\ {\mathbf{x}}_u\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{B}_c\\ 0\end{array}\right]\mathbf{u}\end{array}$$

 

여기서 $A_{cc}\in {\mathbb{R}}^{n_c\times n_c}$, $B_c\in {\mathbb{R}}^{n_c\times p}$ 이다. 식 (15)에 의하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(16)}& {\dot{\mathbf{x}}}_u=A_{uu}{\mathbf{x}}_u\end{array}$$

 

이므로 상태변수 ${\mathbf{x}}_u$ 는 제어입력의 영향을 전혀 받지 않기 때문에 제어불가능한 부분공간의 상태변수가 된다. 한편 식 (15)의 특성다항식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(17)}& det(\lambda I-\tilde{A})=det(\lambda I-A_{cc})det(\lambda I-A_{uu})\end{array}$$

 

따라서 시스템 (1)의 고유값 또는 $\tilde{A}$ 의 고유값은 $A_{cc}$ 의 고유값과 $A_{uu}$ 의 고유값의 합집합이라는 것을 알 수 있다. 여기서 $A_{uu}$ 의 고유값을 제어불가능한 고유값(uncontrollable eigenvalue)이라고 하고 그에 관련된 운동모드를 제어불가능한 모드라고 한다.

한편 제어불가능한 고유값이 모두 안정하다면 시스템 (1)을 또는 $(A,B)$ 를 안정화가능(stabilizable)한 시스템이라고 말한다. 달리 말하면 불안정한 고유값이 모두 제어가능하다면 안정화가능하다고 한다.

따라서 시스템이 제어가능하다면 안정화가능하다. 하지만 시스템이 안정화가능하다고 하여 제어가능한 것은 아니다.

한편 식 (15)에서 다음 일부 시스템을 제어가능 서브시스템(controllable subsystem)이라고 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(18)}& {\dot{\mathbf{x}}}_c=A_{cc}{\mathbf{x}}_c+B_c\mathbf{u}\end{array}$$

 

왜냐하면 $(A_{cc},B_c)$ 는 제어가능하기 떄문이다. 증명은 다음과 같다.

시스템 (15)의 제어가능성 행렬 ${\tilde{Q}}_c$ 의 랭크는 $n_c$ 이므로 다음과 같이 전개할 수 있다.

 

$$\begin{array}{rl}{n}_c& =rank({\tilde{Q}}_c)=rank[\tilde{B}\tilde{A}\tilde{B}{\tilde{A}}^2\tilde{B}\cdots {\tilde{A}}^{n-1}\tilde{B}]\\ \\ & =rank\left[\begin{array}{ccccc}{B}_c& A_{cc}{B}_c& A_{cc}^2{B}_c& \cdots & A_{cc}^{n-1}{B}_c\\ 0& 0& 0& \cdots & 0\end{array}\right]\\ \\ & =rank[B_c{A}_{cc}{B}_c{A}_{cc}^2{B}_c\cdots A_{cc}^{n-1}{B}_c]\end{array}$$

 

따라서 서브 시스템 (18)은 제어가능하다.