pseudospectral method3 [PSOC-8] 유사 스펙트럴 기반 최적제어 문제 연속시간 최적제어에 사용되는 두 가지 유형의 수치적 방법 중 직접방법(direct method)은 최적제어 문제에서 상태변수와 제어입력을 이산화(discretization)시켜 비선형 프로그래밍 문제(NLP, nonlinear programming problem)로 바꾸는 것이다. 유사 스펙트럴 방법(pseudospectral method)은 지난 10여년 동안 최적제어 분야에서 널리 사용된 직접방법 중의 하나로서 콜로케이션 포인트(collocation point)와 보간점(interpolating point)을 이용하는 것이 핵심이다. 지금까지 살펴본 수학적 배경지식인 라그랑지 보간 다항식, 가우시안 쿼드래처, 유사 스펙트럴 방법 등을 간략히 요약한 다음에 연속시간 최적제어 문제를 비선형 프로그래밍 문.. 2023. 7. 17. [PSOC-6] 유사 스펙트럴 방법 (Pseudospectral Method) 다음과 같이 경계조건을 갖는 미분방정식이 있다고 하자. \[ \begin{align} & \mathcal{D} \mathbf{x}(t)= \mathbf{g}(t), \ \ \ \mathbf{x} \in V \subset \mathbb{R}^n \tag{1} \\ \\ & \mathcal{B} \mathbf{x}(t)=0, \ \ \ \mathbf{x} \in \partial V \end{align} \] 여기서 \(\mathcal{D}\) 는 미분, \(\mathcal{B}\) 는 경계조건을 뜻하는 연산자이다. 위 미분방정식의 미지해 \(\mathbf{x}(t)\) 를 근사적으로 구한 해(approximate solution) \(\mathbf{X}(t)\) 를 다음과 같은 형식으로 구하고자 한다. \[.. 2022. 4. 23. [PSOC-4] 라그랑지 보간 다항식 \(N\) 개의 임의의 점 \(t_i\) 에서 함수 \(f(t)\) 의 값 \(f(t_i)\) 가 주어졌을 때, \(N\) 개의 점 \(f(t_i)\) 를 지나는 \((N-1)\) 차 라그랑지 보간 다항식(Lagrange interpolation polynomials) \(p(t)\) 는 다음과 같이 주어진다. \[ f(t) \approx p(t) = \sum_{i=1}^N f(t_i ) L_i (t) \tag{1} \] 여기서 \(t_i\) 를 보간점(interpolating point)라고 한다. 또한 \(L_i (t)\) 를 \((N-1)\) 차 라그랑지 기저 다항식(Lagrange basis polynomials) 또는 라그랑지 다항식이라고 하며 다음과 같이 정의한다. \[ L_i (t)= \pr.. 2021. 12. 17. 이전 1 다음
