calculus of variation4 오일러-라그랑지 방정식과 브라키스토크론 문제의 풀이 상단 지점 \((0,0)\)에 정지해 있던 물체가 경로 \(y(x)\)를 따라 마찰없이 중력의 영향으로만 미끄러져서 하단 지점 \((x_f,y_f)\)까지 도착하는데 걸리는 시간은 다음과 같이 계산된다. \[ t= \int_0^{x_f} \frac{ \sqrt{ 1+ \left( \frac{dy}{dx} \right)^2 } }{ \sqrt{2gy} } \ dx \] 여기서 시간 \(t\)를 최소로 만드는 경로 함수 \(y(x)\)를 계산하는 것이 브라키스토크론(Brachistochrone) 문제다. 시간 \(t\)는 함수 \(y(x)\)를 변수로 하는 functional이다. 이 값을 최소화하는 함수 \(y(x)\)를 찾는 문제이므로 변분법의 문제이다. 다음과 같은 functional \(F(y, y^.. 2021. 1. 13. 변분법과 오일러-라그랑지 방정식 오일러-라그랑지 방정식(Euler-Lagrange equation)은 어떤 함수와 그 도함수(derivative)의 함수인 functional의 값을 최대화 또는 최소화하는 함수를 유도하기 위한 미분 방정식이다. 수식으로 살펴보자. 다음과 같은 functional \(F(y, y^\prime)\)가 있다고 하자. \[ F(y, y^\prime)= \int_{x_0}^{x_f} h(y(x), y^\prime (x)) \ dx \] 여기서 \(y(x)\)는 \(x\)의 함수이고, \(y^\prime (x)= \frac{dy}{dx}\)는 \(y(x)\)의 도함수이며, 적분 구간의 양쪽 경계 \(y(x_0)\)와 \(y(x_f)\)는 고정된 값으로 가정한다. Functional \(F(y, y\prime)\).. 2021. 1. 12. 변분법 (calculus of variation) 최적화는 크게 정적 최적화(static optimization)와 동적 최적화(dynamic optimization)로 분류할 수 있다. 정적 최적화는 파라미터 최적화(parameter optimization)라고도 하며, 동적 최적화는 최적제어(optimal control) 문제라고 한다. 파라미터 최적화는 정적(static) 파라미터를 변수로 하는 어떤 함수(function)에서 최소값 또는 최대값을 산출하는 파라미터를 구하는 문제다. 반면에 동적 최적화는 '함수를 변수로 하는 함수' (함수의 함수로서 functional이라고 한다)에서 최소값 또는 최대값을 산출하는 함수를 구하는 문제다. 파라미터 최적화에 미분법이 필요하듯이 동적 최적화에는 변분법(calculus of variation)이 필요하다.. 2021. 1. 11. 브라키스토크론 문제와 변분법 같은 평면에 높이가 다른 두 지점 \(A\)와 \(B\)가 있다. 지점 \(A\)는 지점 \(B\)보다 높은 곳에 위치해 있다. 이 때 상단 지점 \(A\)에 정지해 있던 물체가 마찰없이 중력의 영향으로만 미끄러져서 가장 짧은 시간에 하단 지점 \(B\)까지 도착할 수 있는 경로는 무엇일까? 지점 \(A\)와 \(B\)를 잇는 경로는 무수히 많다. 언뜻 생각하면 두 지점을 직선으로 연결한 경로(위 그림에서 녹색 경로)가 두 지점 \(A\)와 \(B\)를 연결하는 최단 경로이기 때문에 최단 시간에 이동할 수 있는 경로도 되지 않을까 싶지만, 그렇지 않다. 중력 때문에 생기는 물체의 속도도 고려해야 한다. >수평 방향을 \(x\)축, 수직 방향을 \(y\)축으로 한다면, 경로는 \(x\)를 변수로 하는 함수.. 2021. 1. 8. 이전 1 다음
