경로 좌표계와 극 좌표계

비슷해 보이지만 서로 다른 좌표계가 있다. 경로 좌표계(path coordinate)와 극 좌표계(polar coordinate)이다.

 

 

경로 좌표계는 물체가 이동하는 경로를 따라 각 지점에서 물체의 속도 방향(tangential component, ${\hat{e}}_t$)과 경로의 곡률 중심(center of curvature) 방향(normal component, ${\hat{e}}_n$)을 좌표축으로 삼는다. 그래서 Tangential-Normal 좌표계라고도 한다. 경로가 미리 정해져 있거나 혹은 가늠할 수 있는 경로를 따라 움직이는 물체의 운동을 표현할 때 편리한 좌표계다. 예를 들면 롤러코스터나 자동차 또는 인공위성 등의 운동이 이에 해당한다.

 

 

위 그림에서 $\{a\}$는 기준 좌표계고 $O$는 기준 좌표계의 원점이다. 경로의 접선(tangential) 방향이 곧 물체 $P$의 속도 방향이기 때문에 물체의 속도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\overrightarrow{v}=v{\hat{e}}_t$$

 

가속도는 속도 벡터를 기준 좌표계에서 미분한 것이므로 다음과 같이 유도된다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\frac{{}^{a}d\overrightarrow{v}}{dt}\\ \\ & =\frac{dv}{dt}{\hat{e}}_t+\frac{v^2}{\rho }{\hat{e}}_n\end{array}$$

 

여기서 $\rho$는 곡률 반경이다. 경로 좌표계는 물체가 경로를 따라 움직일 때 마다 기준 좌표계에 대해서 방향이 계속 바뀐다.

 

 

극 좌표계는 기준점에서 물체까지의 거리와 기준축과의 각도인 ($r,\theta$)를 나타낸다. 이 경우는직교 좌표계가 아니기 때문에, 직교 좌표계인 Radial-Transverse 좌표계를 극 좌표계로 칭하기도 한다.

 

 

Radial-Transverse 좌표계는 기준점으로부터 물체의 거리와 방향을 측정할 수 있을 때 편리하게 사용될 수 있는 좌표계다. 기준점에서 물체의 위치가 극 좌표점 ($r,\theta$)로 주어졌을 때, 기준점에서 물체까지의 위치인 방사 방향(radial component, ${\hat{e}}_r$)과, 방사 방향과 직각이면서 $\theta$가 증가하는 방향(transverse component, ${\hat{e}}_{\theta }$)을 좌표축으로 삼는다.

 

 

${\hat{e}}_r$축은 물체의 위치 벡터 $\overrightarrow{r}$의 방향은 항상 같기 때문에 위치 벡터는 다음과 같이 표현할 수 있다.

 

$$\overrightarrow{r}=r{\hat{e}}_r$$

 

속도는 위치 벡터를 기준 좌표계에서 미분한 것이므로 다음과 같이 유도된다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =\frac{{}^{a}d\overrightarrow{r}}{dt}\\ \\ & =\dot{r}{\hat{e}}_r+r\dot{\theta }{\hat{e}}_{\theta }\end{array}$$

 

가속도는 속도 벡터를 기준 좌표계에서 미분한 것이므로 다음과 같이 유도된다.

 

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{a}& =\frac{{}^{a}d\overrightarrow{v}}{dt}\\ \\ & =(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2){\hat{e}}_r+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }){\hat{e}}_{\theta }\end{array}$$

 

극 좌표계 역시 물체가 경로를 따라 움직일 때 마다 기준 좌표계에 대해서 방향이 계속 바뀐다.