J2 섭동 가속도 (J2 Perturbative Acceleration)

이체문제 하에서 지구를 단순하게 구형 대칭 질량체라고 가정하면 중력 포텐셜 함수(gravity potential function)는 \(V(r)=-\frac{\mu}{r}\) 이며 원추형 궤도를 생성한다. 하지만 지구는 구형 대칭 질량체가 아니고 적도 부분이 볼록하고 북극과 남극에서는 펀평한 타원구체 형태를 갖고 있으며 질량 분포 또한 불균일 하다. 이 경우 중력 포텐셜 함수는 구역 조화항(zonal harmonics), 부문 조화항(sectorial harmonics) 및 테세리얼 조화항(tesseral harmonics)을 포함한 복잡한 함수로 모델링할 수 있다 (https://pasus.tistory.com/348).

만약 지구의 모양과 질량 분포를 자전축을 중심으로 하는 축대칭으로 근사화한다면 중력 포텐셜 함수는 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} V(r, \phi)= - \frac{\mu}{r} \left[ 1-\sum_{k=2}^\infty \left( \frac{R_e}{r} \right)^k J_k P_k (\sin \phi ) \right] \tag{1} \end{align} \]

 

여기서 \(J_k\)는 구역 조화항(zonal harmonics), \(R_e\) 는 지구의 적도 반지름, \(\phi\) 는 지구 중심을 기준으로 측정한 위도(geocentric latitude), \(P_k\) 는 \(k\) 차(degree) 르장드르 다항식이다.

 

 

지구가 회전축에 대해서 대칭이라는 것은 적도면에 x축과 y축이 있고 z축을 공통으로 공유하는 한 특정한 직교좌표계의 선택과는 무관하다는 것을 의미한다. 따라서 위 그림에서는 좌표계로서 지구중심관성(ECI) 좌표계를 사용했다.

식 (1)에서 J2항만 고려하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} V(r, \phi) &= - \frac{\mu}{r} \left[ 1-\frac{J_2}{2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \right] \tag{2} \\ \\ &= - \frac{\mu}{r}+ \frac{J_2}{2} \frac{\mu}{r} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \end{align} \]

 

중력 가속도는 다음과 같이 포텐셜 함수의 그래디언트로 계산된다.

 

\[ \begin{align} \vec{a} = -\nabla V(x, y, z) = - \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i}_1- \frac{\partial V}{\partial y} \hat{i}_2 - \frac{\partial V}{\partial z} \hat{i}_3 \tag{3} \end{align} \]

 

여기서 \(\vec{r}=x \hat{i}_1+y \hat{i}_2 +z \hat{i}_3\) 이다. 식 (2)의 포텐셜 함수는 \(r\) 과 \(\phi\) 의 함수로 되어 있으므로 일단 \(r\) 과 \(\phi\) 에 대한 식 (2)의 미분을 구하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \frac{\partial V}{\partial r}= \frac{\mu}{r^2} -\frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \tag{4} \\ \\ & \frac{\partial V}{\partial \phi}= \frac{J_2}{2} \frac{\mu}{r} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (6 \sin \phi \cos \phi ) \end{align} \]

 

식 (2)의 포텐셜 함수를 \(x, y, z\) 함수로 변환하기 위해서는 다음과 같은 관계식이 필요하다.

 

\[ \begin{align} & r= \sqrt{x^2+y^2+z^2 } \tag{5} \\ \\ & \sin \phi= \frac{z}{r} \end{align} \]

 

식 (5)를 이용하여 \(r\) 과 \(\phi\) 를 \(x, y, z\) 로 미분하면 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} & \frac{\partial r}{\partial x}= \frac{x}{r}, \ \ \ \ \frac{\partial r}{\partial y}= \frac{y}{r}, \ \ \ \ \frac{\partial r}{\partial z}= \frac{z}{r} \tag{6} \\ \\ & \frac{\partial \phi}{\partial x}= \frac{1}{\cos \phi} \left(- \frac{xz}{r^3} \right) \\ \\ & \frac{\partial \phi}{\partial y}= \frac{1}{\cos \phi} \left(- \frac{yz}{r^3} \right) \\ \\ & \frac{\partial \phi}{\partial z}= \frac{1}{\cos \phi} \left( \frac{x^2+y^2}{r^3} \right)= \frac{\cos \phi}{r} \end{align} \]

 

 

 

이제 식 (4)와 (6) 그리고 미분의 연쇄법칙을 이용하면 각 축별로 식 (3)의 미분항을 구할 수 있다.

 

\[ \begin{align} \frac{\partial V}{\partial x} &= \frac{\partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial \phi} \frac{\partial \phi}{\partial x} \tag{7} \\ \\ &= \left( \frac{\mu}{r^2} -\frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \right) \frac{x}{r} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \frac{J_2}{2} \frac{\mu}{r} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (6 \sin \phi \cos \phi ) \frac{1}{\cos \phi} \left( - \frac{xz}{r^3} \right) \\ \\ &= \frac{\mu}{r^3} x- \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 \frac{x}{r} \left( 5 \left( \frac{z}{r} \right)^2-1 \right) \\ \\ \\ \frac{\partial V}{\partial y} &= \frac{\partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial V}{\partial \phi} \frac{\partial \phi}{\partial y} \\ \\ &= \left( \frac{\mu}{r^2} -\frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \right) \frac{y}{r} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \frac{J_2}{2} \frac{\mu}{r} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (6 \sin \phi \cos \phi ) \frac{1}{\cos \phi} \left( - \frac{yz}{r^3} \right) \\ \\ &= \frac{\mu}{r^3} y- \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 \frac{y}{r} \left( 5 \left( \frac{z}{r} \right)^2-1 \right) \\ \\ \\ \frac{\partial V}{\partial z} &= \frac{\partial V}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial z}+\frac{\partial V}{\partial \phi} \frac{\partial \phi}{\partial z} \\ \\ &= \left( \frac{\mu}{r^2} -\frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \right) \frac{z}{r} \\ \\ & \ \ \ \ \ + \frac{J_2}{2} \frac{\mu}{r} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (6 \sin \phi \cos \phi ) \frac{\cos \phi}{r} \\ \\ &=\frac{\mu}{r^3} z- \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (3 \sin^2 \phi -1) \frac{z}{r} \\ \\ & \ \ \ \ \ - \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 (2( \sin^2 \phi-1) ) \sin \phi \\ \\ &= \frac{\mu}{r^3} z- \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 \frac{z}{r} \left (5 \left( \frac{z}{r} \right)^2-3 \right) \end{align} \]

 

식 (7)을 (3)에 대입하면 중력 가속도는 다음과 같다.

 

\[ \begin{align} \vec{a} &= - \frac{\mu}{r^3} (x \hat{i}_1+y \hat{i}_2 +z \hat{i}_3 )+ \vec{a}_p \tag{8} \\ \\ &= - \frac{\mu}{r^3} \vec{r}+ \vec{a}_p \end{align} \]

 

위 식에서 첫번째 항은 이체(two-body) 가속도이고 두번째 항은 지구의 비구형(nonspherical Earth)으로 인한 섭동 가속도로서 다음과 같이 주어진다.

 

\[ \begin{align} \vec{a}_p= \frac{3}{2} J_2 \frac{\mu}{r^2} \left( \frac{R_e}{r} \right)^2 \begin{bmatrix} \ \ \frac{x}{r} \left(5 \left( \frac{z}{r} \right)^2-1 \right) \ \hat{i}_1 \\ + \frac{y}{r} \left(5 \left( \frac{z}{r} \right)^2-1 \right) \ \hat{i}_2 \\ + \frac{z}{r} \left(5 \left( \frac{z}{r} \right)^2-3 \right) \ \hat{i}_3 ) \end{bmatrix} \tag{9} \end{align} \]

 

따라서 섭동 가속도로 인해 교란된 이체문제 운동방정식은 다음과 같이 된다.

 

\[ \begin{align} \frac{ ^i d^2 \vec{r}}{dt^2}+ \frac{\mu}{r^3} \vec{r}= \vec{a}_p \tag{10} \end{align} \]

 

여기서 주의할 점은 지구의 비구형으로 인한 섭동 가속도 방정식을 유도할 때 구역 조화항 만을 고려한 포텐셜 함수를 가정하였다는 점이다. 구역 조화항은 경도에 종속되지 않으므로 지구중심관성(ECI) 좌표계를 사용할 수 있었지만 부문 조화항 및 테세리얼 조화항까지 고려해야 한다면 좌표계는 지구중심지구고정(ECEF) 좌표계를 사용해야 한다.