벡터 항등식과 벡터 미분 항등식

먼저 쓸모가 많은 벡터 항등식 4개를 소개한다. 필요할 때 참고하면 된다. 증명은 복잡하긴 해도 어렵진 않다. 여기서 모든 벡터는 3차원 벡터이다.

 

\begin{align} & \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})= \mathbf{b} \cdot (\mathbf{c} \times \mathbf{a})= \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \\ \\ & \mathbf{a} \times (\mathbf{b} \times \mathbf{c})=(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c})\mathbf{b}-(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})\mathbf{c} \\ \\ & (\mathbf{a}×\mathbf{b})⋅(\mathbf{c}×\mathbf{d})=(\mathbf{a}⋅\mathbf{c})(\mathbf{b}⋅\mathbf{d})-(\mathbf{a}⋅\mathbf{d})(\mathbf{b}⋅\mathbf{c})\\ \\ & (\mathbf{a}×\mathbf{b})×(\mathbf{c}×\mathbf{d})=((\mathbf{a}×\mathbf{b})⋅\mathbf{d})\mathbf{c}-((\mathbf{a}×\mathbf{b})⋅\mathbf{c})\mathbf{d} \end{align} \]

 

 

다음으로 많이 사용되는 벡터의 미분 항등식이다.

 

\[ \begin{align} & \nabla×(∇f)=0 \\ \\ & ∇⋅(∇×\mathbf{a})=0 \end{align} \]

 

여기서 \(f(x,y,z)\) 인 스칼라 함수이고,

 

\[ \begin{align} ∇= \frac{∂}{∂x} \mathbf{i}+ \frac{∂}{∂y} \mathbf{j}+ \frac{∂}{∂z} \mathbf{k} \end{align} \]

 

이며 \(\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}\) 는 직교 좌표계의 각 축방향의 단위벡터이다.

 

 

이 밖에 다음 항등식들이 가끔 쓰인다.

 

\[ \begin{align} & ∇⋅(f \mathbf{a})=∇f⋅\mathbf{a}-f∇⋅\mathbf{a} \\ \\ & ∇×(f \mathbf{a})=∇f×\mathbf{a}+f∇×\mathbf{a} \\ \\ & ∇(\mathbf{a}⋅\mathbf{b})=(\mathbf{a}⋅∇)\mathbf{b}+(\mathbf{b}⋅∇)\mathbf{a}+\mathbf{a}×(∇×\mathbf{b})+\mathbf{b}×(∇×\mathbf{a}) \\ \\ & ∇⋅(\mathbf{a}×\mathbf{b})=\mathbf{b}⋅(∇×\mathbf{a})-\mathbf{a}⋅(∇×\mathbf{b}) \\ \\ & ∇×(∇×\mathbf{a})=∇(∇⋅\mathbf{a})-∇^2 \mathbf{a} \\ \\ & ∇×(\mathbf{a}×\mathbf{b})=(∇⋅\mathbf{b})\mathbf{a}-(∇⋅\mathbf{a})\mathbf{b}+(\mathbf{b}⋅∇)\mathbf{a}-(\mathbf{a}⋅∇)\mathbf{b} \end{align} \]