강체의 운동방정식 - 2

관성좌표계의 원점 $O$ 에 대한 파티클 시스템의 총 각운동량 ${\overrightarrow{H}}_O$ 를 다음과 같이 정의한 바 있다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& {\overrightarrow{H}}_O=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_j\times m_j{\overrightarrow{v}}_j\end{array}$$

 

여기서 ${\overrightarrow{v}}_j$ 는 파티클 $j$ 의 속도로서 ${\overrightarrow{v}}_j=\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}$ 이다.

 

 

임의의 점 $A$ 에 대한 파티클 시스템의 총 각운동량 ${\overrightarrow{H}}_A$ 는 다음과 같이 정의한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& {\overrightarrow{H}}_A=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/A}\times m_j{\overrightarrow{v}}_j\end{array}$$

 

여기서 ${\overrightarrow{r}}_{j/A}$ 는 점 $A$ 에서 파티클 $j$ 까지의 위치벡터다. 주의할 점은 속도는 여전히 ${\overrightarrow{v}}_j=\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}$ 로서 관성좌표계의 원점 $O$ 에 대한 파티클 $j$의 위치벡터 ${\overrightarrow{r}}_j$ 를 관성좌표계에서 미분한 속도라는 것이다.

 

 

점 $A$ 에 대한 파티클 시스템의 총 각운동량 ${\overrightarrow{H}}_A^{\prime }$ 를 다음과 같이 정의하기도 한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& {\overrightarrow{H}}_A^{\prime }=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/A}\times m_j{\overrightarrow{v}}_{j/A}\end{array}$$

 

여기서 ${\overrightarrow{v}}_{j/A}$ 는 점 $A$ 에 대한 파티클 $j$ 의 상대속도로서 ${\overrightarrow{v}}_{j/A}=\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/A}}{dt}$ 이다. 일반적으로 ${\overrightarrow{H}}_A\ne {\overrightarrow{H}}_A^{\prime }$ 이지만 점 $A$ 가 시스템의 질량중심 $G$ 라면 두 각운동량은 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\overrightarrow{H}}_G={\overrightarrow{H}}_G^{\prime }\end{array}$$

 

먼저 이를 증명해 보기로 하자. 식 (2)로부터 질량중심G에 대한 파티클 시스템의 총 각운동량 ${\overrightarrow{H}}_G$ 는 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(5)}& {\overrightarrow{H}}_G& =\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/G}\times m_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}\\ & =\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/G}\times m_j\frac{{}^{i}d}{dt}({\overrightarrow{r}}_G+{\overrightarrow{r}}_{j/G})\\ \\ & =\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/G}\times m_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}+\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/G}\times m_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt}\end{array}$$

 

위 식에서 점 $G$ 는 질량중심이므로,

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& \sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/G}\times m_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}=\left(\sum _{j=1}^n{m}_j{\overrightarrow{r}}_{j/G}\right)\times \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}=0\end{array}$$

 

이 된다. 따라서 식 (5)는 식 (3)의 정의에 의해서

 

$$\begin{array}{}\text{(7)}& {\overrightarrow{H}}_G=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/G}\times m_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt}={\overrightarrow{H}}_G^{\prime }\end{array}$$

 

가 된다.

 

 

이제 임의의 점 $A$ 에 대한 시스템의 총 각운동량 식 (2)를 미분해 보자.

 

$$\begin{array}{}\text{(8)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}=\sum _{j=1}^n\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/A}}{dt}\times m_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}+\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/A}\times m_j\frac{{}^i{d}^2{\overrightarrow{r}}_j}{d{t}^2}\end{array}$$

 

여기서 위 그림에 나와 있듯이 다음과 같은 위치벡터 간의 관계식을 이용하면,

 

$$\begin{array}{}\text{(9)}& {\overrightarrow{r}}_{j/A}={\overrightarrow{r}}_{G/A}+{\overrightarrow{r}}_{j/G},{\overrightarrow{r}}_j={\overrightarrow{r}}_G+{\overrightarrow{r}}_{j/G}\end{array}$$

 

식 (8)은 다음과 같이 된다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(10)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_A}{dt}& =\sum _{j=1}^n(\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt})\times m_j(\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt})+\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{r}}_{j/A}\times {\overrightarrow{F}}_j\\ & =m\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\times {\overrightarrow{v}}_G+\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{M}}_{jA}\end{array}$$

 

여기서 질량중심의 정의 $\sum _{j=1}^n{m}_j{\overrightarrow{r}}_{j/G}=0$ 을 이용했으며, ${\overrightarrow{v}}_G$ 는 질량중심의 속도로서 ${\overrightarrow{v}}_G=\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}$, $m$ 은 총 질량으로서 $m=\sum _{j=1}^n{m}_j$ 이고, ${\overrightarrow{M}}_{jA}$ 는 점 $A$ 에 대한 외력 ${\overrightarrow{F}}_j$ 에 의한 모멘트이다.

 

 

만약 점 $A$ 가 질량중심이라면 식 (10)에서 ${\overrightarrow{r}}_{G/A}=0$ 이므로 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(11)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_G}{dt}=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{M}}_{jG}\end{array}$$

 

또한 식 (4)에 의하면 위 식은 다음과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(12)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_G^{\prime }}{dt}=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{M}}_{jG}\end{array}$$

 

한편 점 $A$ 가 관성좌표계의 원점 $O$ 라면 식 (10)에서 ${\overrightarrow{r}}_{G/A}={\overrightarrow{r}}_G$ 이므로 $\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{G/A}}{dt}\times {\overrightarrow{v}}_G={\overrightarrow{v}}_G\times {\overrightarrow{v}}_G=0$ 이 되어서 다음 식이 성립한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(13)}& \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{H}}_O}{dt}=\sum _{j=1}^n{\overrightarrow{M}}_{jO}\end{array}$$

 

따라서 관성좌표계에서 고정된 점 $O$ 또는 움직이는 질량중심점 $G$ 에 대한 총 각운동량의 변화율은 점 $O$ 또는 $G$에 관한 외력에 의한 모멘트와 같다는 것을 알 수 있다. 이와 같이 질량중심점에 관해서 모멘트 식을 전개하면 고정된 점에 관해서 식을 전개한 것처럼 식이 간단해진다.

파티클 시스템의 총 운동에너지는 각 파티클이 갖는 운동에너지의 합과 같다.

 

$$\begin{array}{}\text{(14)}& T=\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{m}_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}\cdot \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_j}{dt}\end{array}$$

 

식 (9)를 이용하면 위 식을 다음과 같이 전개할 수 있다.

 

$$\begin{array}{r}\text{(15)}& T& =\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{m}_j(\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt})\cdot (\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_G}{dt}+\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt})\\ & =\frac{1}{2}m{\overrightarrow{v}}_G\cdot {\overrightarrow{v}}_G+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{m}_j\frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt}\cdot \frac{{}^{i}d{\overrightarrow{r}}_{j/G}}{dt}\end{array}$$

 

식 (15)에 의하면, 파티클 시스템의 운동에너지는 질량중심에 집중된 시스템의 전체 질량을 고려하여 얻은 운동에너지에 질량중심에 대한 파티클의 상대적인 운동에너지를 더한 것과 같다.

이로서 강체 운동방정식을 구하기 위한 준비를 모두 마쳤다.