케플러(Kepler) 법칙의 증명

케플러(Kepler)의 세가지 법칙은 이체문제(two-body problem) 가정 하에 뉴턴의 제2법칙과 만유인력의 법칙을 이용하여 증명할 수 있다.

 

 

케플러의 법칙은 주로 화성을 관찰하여 얻은 경험적인 법칙이지만 지구를 비롯한 모든 행성뿐만 아니라 우주비행체에도 적용된다.

 

 

케플러의 제1법칙은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 것이다.
이체문제 가정 하에 질점 $m$ 이 가질 수 있는 궤도의 모양은 타원궤도를 포함하여 4가지라는 것을 이미 증명하였다. 여기서 질점 $m$ 을 행성, 질점 $M$ 을 태양으로 보면 된다. 이는 케플러 제1법칙의 확장을 의미한다.

케플러의 제2법칙은 질점 $M$ 과 질점 $m$ (태양과 행성의 중심)을 연결한 선은 동일한 시간동안 동일한 면적을 휩쓸고 지나간다는 면적속도 일정의 법칙이다.

이 법칙에 의하면 질점 $m$ 의 속도는 질점 $M$ 에 가까운 지점에서는 빠르고 먼 지점에서는 느리게 된다.

 

 

다음 그림과 같이 짧은 시간 $dt$ 동안 질점 $m$ 의 위치가 $\overrightarrow{r}(t)$ 에서 $\overrightarrow{r}(t+dt)$ 로 $d\overrightarrow{r}$ 만큼 이동했다고 가정하자. 이 때 질점 $M$ 과 질점 $m$ 을 연결한 선이 휩쓸고 간 면적이 $dA$ 이다.

 

 

$dA$ 는 $\overrightarrow{r}(t),\overrightarrow{r}(t+dt),d\overrightarrow{r}$ 을 변으로 하는 삼각형의 면적이므로 다음과 같이 주어진다.

 

$$\begin{array}{}\text{(1)}& dA=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times d\overrightarrow{r}|\end{array}$$

 

여기서 $d\overrightarrow{r}=\overrightarrow{v}dt$ 이므로, 위 식에 대입하면

 

$$\begin{array}{}\text{(2)}& dA=\frac{1}{2}|\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}dt|=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{h}\right|dt\end{array}$$

 

가 된다. 여기서 $\overrightarrow{h}$ 는 단위 질량당 각운동량 벡터이다. 이제 양변을 $dt$ 로 나누면

 

$$\begin{array}{}\text{(3)}& \frac{dA}{dt}=\frac{h}{2}=\text{constant}\end{array}$$

 

가 되므로 케플러의 제2법칙이 증명된다.

케플러의 제3법칙은 질점 $m$ (행성)의 공전주기의 제곱은 궤도의 장반경의 세제곱에 비례한다는 조화의 법칙이다.
제3법칙은 다른 법칙과는 달리 원 또는 타원궤도에만 적용이 된다. 원궤도는 타원궤도의 특별한 경우이므로 아래 그림과 같이 타원궤도만을 가정하도록 하자.

 

 

먼저 케플러의 제2법칙인 식 (3)의 양변을 적분한다.

 

$$\begin{array}{}\text{(4)}& {\int }_0^{A}dA={\int }_0^T\frac{h}{2}dt\end{array}$$

 

여기서 $A$ 는 타원궤도의 면적이며 $T$ 는 타원궤도를 일주하는데 걸리는 시간인 주기(period)이다. 각운동량은 상수이므로 위 식을 적분하고 타원궤도의 면적이 $A=\pi ab$, 각운동량의 크기는 $h=\sqrt{\mu p}$ 임을 고려하면, 주기는 다음과 같이 계산된다.

 

$$\begin{array}{}\text{(5)}& T=\frac{2A}{h}=\frac{2\pi ab}{\sqrt{\mu p}}\end{array}$$

 

여기서 $b=a\sqrt{1-e^2}$ 이고, $p=a(1-e^2)$ 이므로 위 식에 대입하면

 

$$\begin{array}{}\text{(6)}& T=\frac{2\pi a^2\sqrt{1-e^2}}{\sqrt{\mu a(1-e^2)}}=\frac{2\pi }{\sqrt{\mu }}{a}^{\frac{3}{2}}\end{array}$$

 

가 되어서, 주기의 제곱은 장반경의 세제곱에 비례함을 알 수 있다.