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항공우주/동역학26

오일러각 (Euler Angles) 오일러각 좌표변환 방법은 좌표계 \(\{a\}\)에서 좌표계 \(\{b\}\)로의 좌표변환을 단 3개의 파라미터로 표현하는 방법이다. 좌표변환은 3개의 파라미터만으로 표현할 수 있으므로 오일러각 방법은 가장 경제적인 좌표변환 방법이라고 말할 수 있다. 오일러각 방법은 좌표계 \(\{a\}\)의 특정 좌표축을 시작으로 3번의 연속적인 회전을 통해서 좌표계 \(\{a\}\)를 좌표계 \(\{b\}\)로 변환한다. 먼저 공학의 여러 분야에서 통상적으로 사용되는 3-2-1 오일러각에 대해서 설명해 본다. 3-2-1 방식은 좌표계 \(\{a\}\)의 \(z\)축을 중심으로 회전하여 좌표변환하고, 다시 변환된 좌표계의 \(y\)축을 중심으로 회전하여 좌표변환하며, 마지막으로 변환된 좌표계의 \(x\)축을 중심으로 .. 2021. 2. 7.
방향코사인행렬 (DCM) DCM은 Direction Cosine Matrix의 약자다. 방향코사인행렬 또는 회전행렬(rotation matrix)이라고 한다. 기호로는 \(C_b^a\) 라고 쓰고 위 첨자와 아래 첨자에 각각 좌표계를 표시한다. 그리고 좌표계 \(\{a\}\)에서 좌표계 \(\{b\}\)로의 DCM이라고 읽는다. DCM은 \(3 \times 3\) 행렬이다. 그러면 9개의 행렬 성분(element)이 있는데, 각각은 다음과 같이 정의한다. \[ C_b^a = \begin{bmatrix} \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_2 & \hat{a}_1 \cdot \hat{b}_3 \\ \hat{a}_2 \cdot \hat{b}_1 & \hat{a}_2 \cdot.. 2021. 2. 6.
벡터를 직교 좌표계로 표현하기 스칼라(scalar)는 크기만 가진 어떤 양이다. 반면에 벡터(vector)는 크기와 방향을 갖는 양이다. 벡터는 통상적으로 영문 소문자위에 화살표로 표기한다. 즉 벡터 \(u\)는 \(\vec{u}\)로 표기한다. 또한 벡터는 화살표로 그린다. 화살표의 크기는 벡터의 크기를 나타내며, 화살표의 방향은 벡터의 방향을 나타낸다. 벡터의 크기는 벡터의 절대값으로 표기한다. 벡터 \(\vec{u}\)의 크기는 \(\left\vert \vec{u} \right\vert\)다. 두 개의 벡터는 크기와 방향이 모두 같으면 '같다'고 한다. 아래 그림에서 두 벡터 \(\vec{u}\)와 \(\vec{w}\)는 출발점이 다르지만 크기와 방향이 같으므로 같다. 즉, \(\vec{u}=\vec{w}\) 이다. 벡터는 특정.. 2021. 2. 5.
직교 좌표계 물체의 위치와 운동을 표현하기 위해서는 기준점과 기준 좌표계(reference frame)가 필요하다. 기준점을 좌표계의 원점이라고 하며 물체의 위치를 기준점으로부터 좌표계의 각 축 방향으로 얼마큼 떨어져 있는지 숫자로 나타낸다. 좌표계로는 좌표계의 각 축이 직각을 이루는 직교 좌표계(Cartesian coordinate system)가 주로 사용되지만, 원통 좌표계(cylindrical coordinate system)와 구 좌표계(spherical coordinate system)등도 많이 사용된다. 직교 좌표계에서는 3차원 공간의 경우 통상적으로 각 축을 \(x, y, z\)축이라고 하든가 아니면 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) 축이라고 표기한다. 하지만, 좌표계가 여러 개가 .. 2021. 2. 5.
자이로스코프 효과 과학관에 가면 자이로스코프 효과(gyroscopic effect)가 무엇인지 몸으로 느끼게 해주는 장치가 있다. 바로 손잡이가 달려있는 자전거 바퀴와 회전의자다. 처음에는 관람객에게 자전거 바퀴를 양손에 쥐게 한 후 회전의자에 앉힌다. 그리고 회전의자를 돌린다. 그러면 아무런 일도 일어나지 않는다. 이번에는 자전거 바퀴를 손으로 잡아당겨 빠르게 회전시킨다. 그리고 관람객이 앉아 있는 회전의자를 돌린다. 그러면 이번에는 마치 유령이 자전거 바퀴를 비트는 듯한 느낌이 온다. 손으로 꽉 잡지 않으면 자전거 바퀴가 비틀어진다. 매우 신기한 일이다. 이것이 자이로스코프 효과라고 불리는 현상이다. 자이로스코프 효과는 회전하는 물체의 회전축에 모멘트를 가했을 때 모멘트의 회전 방향대로 회전축이 움직이지 않고 그 직각.. 2021. 1. 10.
경로 좌표계와 극 좌표계 비슷해 보이지만 서로 다른 좌표계가 있다. 경로 좌표계(path coordinate)와 극 좌표계(polar coordinate)이다. 경로 좌표계는 물체가 이동하는 경로를 따라 각 지점에서 물체의 속도 방향(tangential component, \(\hat{e}_t \))과 경로의 곡률 중심(center of curvature) 방향(normal component, \(\hat{e}_n \))을 좌표축으로 삼는다. 그래서 Tangential-Normal 좌표계라고도 한다. 경로가 미리 정해져 있거나 혹은 가늠할 수 있는 경로를 따라 움직이는 물체의 운동을 표현할 때 편리한 좌표계다. 예를 들면 롤러코스터나 자동차 또는 인공위성 등의 운동이 이에 해당한다. 위 그림에서 \(\{a\}\)는 기준 좌표계고.. 2021. 1. 9.