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특이값 분해(singular value decomposition) 행렬을 다른 여러 개의 행렬의 곱으로 쪼개는 것을 분해(decomposition)라고 한다. 행렬의 분해로는 고유값 분해(eigen decomposition), 촐레스키 분해(Cholesky decomposition), LU 분해(lower-upper decomposition), 특이값 분해(singular value decomposition) 등 여러가지가 있지만 그 중에서도 가장 중요한 것이 SVD라고 불리는 특이값 분해가 아닐까 싶다. 특이값 분해는 이미지 압축, 모델의 차원 축소, 근사해 계산, 웹서치, 제어분야에서 액추에이터와 센서의 최적 위치를 선정하는 문제, 제어력 할당 문제 등 매우 폭넓게 응용되고 있기 때문이다. 고유값이 행과 열의 갯수가 같은 정방 행렬(square matrix)에서만 .. 2020. 7. 23.
정정(positive-definite) 행렬의 고유값 실수 대칭행렬(real symmetric matrix)의 고유값(eigenvalue)과 고유벡터(eigenvector)는 모두 실수값이다. 또한 서로 다른 고유값에 해당하는 고유벡터는 서로 직각이다. 증명하기는 다소 어렵지만 실수 대칭행렬의 경우에는 서로 다른 고유값 뿐만 아니라 같은 고유값에 대응하는 고유벡터가 여러 개일 경우에도 그 고유벡터들은 서로 직각이다. 정정 행렬도 실수 대칭행렬이므로 고유값과 고유벡터는 실수값을 가지며, 고유벡터들은 서로 직각이다. 이에 덧붙여서 정정 행렬의 고유값은 모두 0보다 크다. 증명해 보자. 정정 행렬 \( A \)의 고유값을 \( \lambda \), 그에 대응하는 고유벡터를 \( \mathbf{v} \)라고 하면, \[ A \mathbf{v} = \lambda \.. 2020. 7. 21.
LTI 시스템 – 시불변 이번에는 시불변(time-invariant) 시스템이 무엇인지 알아보자. 시불변 시스템은 시스템의 입력 싯점에 따라 시스템의 출력이 바뀌지 않는 시스템을 말한다. 예를 들어서 ‘어제’ A라는 패턴을 갖는 신호를 시스템에 입력으로 주었더니 B라는 출력 신호가 나왔다고 했을 때, ‘오늘’ 동일한 A라는 입력 신호를 시스템에 가했더니 '어제'와 동일한 B라는 출력 신호가 나왔다면 그 시스템은 시불변 시스템이다. 만약 ‘어제’와 동일한 입력 A에 대해서 ‘오늘’은 C라는 출력이 나왔다면 시변(time-varying) 시스템이라고 한다. 시불변 시스템을 수식으로 표현하면 다음과 같다. \( y[n] = \mathbb{F}(x[n]) \) 일 때, \( y[n-n_0] = \mathbb{F}(x[n-n_0]) \).. 2020. 7. 21.
LTI 시스템 - 선형 LTI는 Linear Time-Invariant의 약자다. 선형이고 시불변이라는 뜻이다. 따라서 "LTI 시스템"은 선형 시불변 시스템의 줄인 말이다. 컨볼루션을 얘기하다가 왜 갑자기 LTI 시스템이냐 라고 생각할 지도 모르겠다. LTI 시스템에서 컨볼루션 정의가 나오기 때문이다. LTI 시스템 뿐 만 아니라 확률론 등에서도 나오지만, CNN의 컨볼루션은 LTI 시스템에 나오는 컨볼루션이다. 그럼 선형 시스템이 무엇인지, 시불변 시스템이 무엇인지 알아보자. 먼저, 시스템이란 어떤 입력에 대해서 반응하여 동작하는 장치나 구성품의 집합을 뜻한다. 시스템의 반응을 출력 또는 응답이라고 한다. 시스템은 꼭 물리적인 장치나 구성품 또는 하드웨어일 필요는 없고, 알고리즘 또는 소프트웨어일 수도 있다. 아니면 사회경.. 2020. 7. 21.
컨볼루션(convolution)이란 딥러닝의 성공은 컨볼루션 신경망(CNN, convolutional neural network)의 성공 덕분이라고 할 정도로 CNN은 딥러닝에서 중요한 위치를 차지하고 있다. CNN이 널리 알려지면서 컨볼루션은 딥러닝을 접해본 사람에게는 일반적 용어가 된 것 같다. 사실 컨볼루션이라는 용어는 딥러닝에 문외한이더라도 공업수학, 자동제어, 신호처리 등을 공부한 사람에게는 매우 익숙한 용어다. 이런 과목을 통해 컨볼루션을 접해본 사람에게는 CNN에서 이야기하는 컨볼루션 연산을 보면, “이건 컨볼루션이 아니라 상관도(correlation)인데...”라고 할 지도 모르겠다. CNN을 처음 공부하면 으레 나오는 설명이 있다. CNN은 완전연결(FC, fully connected) 신경망과 비교하여 차별성이 있는데, .. 2020. 7. 20.